Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa $P$, $Q$, $R$, … để kí hiệu mệnh đề.

Ba điều cần hiểu kĩ:

• Mệnh đề sai vẫn là mệnh đề. "$2^2 > 5$" là một mệnh đề (sai). Điều quyết định không phải là câu đúng, mà là câu có thể phân xử được đúng hay sai.
• Chưa biết đúng hay sai vẫn có thể là mệnh đề. Câu "Mọi số chẵn lớn hơn $2$ đều là tổng của hai số nguyên tố" (giả thuyết nổi tiếng) hiện chưa ai chứng minh hay bác bỏ, nhưng chắc chắn nó hoặc đúng hoặc sai, nên nó là mệnh đề. Quan trọng là câu có nghĩa xác định, không phải là ta đã biết đáp án chưa.
• Mệnh đề là câu khẳng định. Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề. Câu khẳng định dùng từ không có tiêu chí rõ ràng ("đẹp", "ngon", "dễ") cũng không phải mệnh đề, vì mỗi người chấm một kiểu.

Câu	Có phải mệnh đề?	Giải thích
"$17$ là số nguyên tố."	Có, đúng	Kiểm tra được: $17$ chỉ chia hết cho $1$ và $17$
"$2^{10} = 1000$."	Có, sai	$2^{10} = 1024$
"Hà Nội là thủ đô của Việt Nam."	Có, đúng	Sự kiện xác định
"Hôm nay bạn có khoẻ không?"	Không	Câu hỏi
"Chà, đẹp quá!"	Không	Câu cảm thán
"Hãy giải bài tập này."	Không	Câu mệnh lệnh
"Số $9$ là số đẹp."	Không	"Đẹp" không có tiêu chí

Xét câu "$x + 3 = 5$". Nó chưa là mệnh đề: không thể nói đúng hay sai khi chưa biết $x$ là gì. Nhưng nếu thay $x = 2$ ta được "$2 + 3 = 5$" (mệnh đề đúng); thay $x = 4$ ta được "$4 + 3 = 5$" (mệnh đề sai).

Đối với $P(x)$ với $x$ thuộc tập $X$, có thể xảy ra ba tình huống: đúng với mọi $x$, đúng với một số $x$, hoặc không đúng với $x$ nào. Tập các giá trị của biến làm cho $P(x)$ đúng gọi là tập chân lý (tập nghiệm) của mệnh đề chứa biến.

Ví dụ: $P(x)$: "$x^2 - 3x + 2 < 0$" với $x \in \mathbb{R}$. Vì $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ âm khi và chỉ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm $1$ và $2$, nên tập chân lý là khoảng $(1; 2)$.

Có hai cách biến $P(x)$ thành mệnh đề:

1. Gán giá trị cho biến: $P(2)$, $P(\sqrt 2)$, …
2. Thêm kí hiệu "với mọi" ($\forall$) hoặc "tồn tại" ($\exists$) trước biến, ví dụ "Với mọi $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$". Hai kí hiệu này được học kĩ ở bài Phủ định mệnh đề, kí hiệu ∀ và ∃.

Khái niệm	Nội dung
Mệnh đề	Câu khẳng định, hoặc đúng hoặc sai (không cả hai)
Không là mệnh đề	Câu hỏi, cảm thán, mệnh lệnh, câu không có tiêu chí
Mệnh đề chứa biến	$P(x)$: thành mệnh đề khi gán giá trị cho biến
Tập chân lý	Các giá trị của biến làm $P(x)$ đúng
Hai cách tạo mệnh đề	Gán giá trị; thêm $\forall$ hoặc $\exists$