Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn · Toán 10

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm

Giao các nửa mặt phẳng và đỉnh

Mục tiêu

Hiểu hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của hệ và miền nghiệm là giao các nửa mặt phẳng.
Vẽ miền nghiệm của hệ và tìm các đỉnh của miền một cách có hệ thống.
Nhận ra các tình huống: miền là đa giác (bị chặn), miền không bị chặn, miền chỉ là một đoạn hoặc một điểm, hệ vô nghiệm; tính diện tích miền đa giác.

Khởi động

Một ruộng hình chữ nhật cần: chiều ngang không âm, chiều dọc không âm, chu vi không quá một giá trị, và một cạnh không dài quá cạnh kia gấp hai lần. Mỗi điều kiện là một bất phương trình, và cả bốn phải đúng cùng lúc. Tập các kích thước thoả cả bốn chính là phần chung của bốn nửa mặt phẳng: một miền có hình dạng rõ ràng, có góc nhọn, có đỉnh. Hệ bất phương trình cho ta cách mô tả những miền như vậy.

01Kiến thức cần nhớ

1. Hệ và nghiệm của hệ

Ví dụ hệ gồm bốn bất phương trình:

\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \\ y - x \le 2 \end{cases}

2. Miền nghiệm của hệ

Cách làm: vẽ miền của từng bất phương trình (cùng một hệ trục), phần chung của tất cả là miền nghiệm. Nếu tô nhạt từng miền thì phần được tô đậm nhất (chồng chập mọi lớp) là miền nghiệm.

Tương tácXếp miền

Miền bị chặn: đa giác 4 đỉnh

A (0; 0)

B (4; 0)

C (1; 3)

D (0; 2)

S = 7

● 4 bất phương trình đang bật

Tắt từng bất phương trình để thấy miền nở ra, sửa một hệ số để thấy đỉnh trượt đi. Thử các hệ mẫu: không bị chặn, vô nghiệm, một điểm, một đường thẳng. Đỉnh được tự tìm và đã thoả mọi bất phương trình đang bật.

3. Đỉnh của miền nghiệm

Khi miền nghiệm là một đa giác, các đỉnh là những điểm "góc". Mỗi đỉnh nằm trên hai bờ (hai đường thẳng của hai bất phương trình trong hệ) và thoả tất cả các bất phương trình còn lại.

Với $n$ bất phương trình có $\dfrac{n(n-1)}{2}$ cặp bờ, nhưng phần lớn giao điểm bị loại. Nếu hai bờ song song thì không có giao điểm.

4. Các hình dạng có thể gặp

Tình huống	Dấu hiệu	Ví dụ
Đa giác (bị chặn)	có thể bao trong một hình tròn đủ lớn	hệ ở mục 1: tứ giác
Không bị chặn	miền kéo dài mãi theo một hướng	$3x + y \ge 9$ , $x + 2y \ge 8$ , $x, y \ge 0$
Đoạn thẳng, một điểm	các miền chỉ chạm nhau	$x + y \le 2$ và $x + y \ge 2$ ; $x, y \ge 0$ và $x + y \le 0$
Rỗng (hệ vô nghiệm)	các nửa mặt phẳng không có phần chung	$x + y \le 1$ và $x + y \ge 3$

Miền nghiệm của hệ luôn lồi: nối hai điểm bất kì của miền bằng một đoạn thẳng thì cả đoạn nằm trong miền (vì mỗi nửa mặt phẳng lồi, giao của các tập lồi là tập lồi). Do đó miền không thể có "hõm vào".

02Tóm tắt

Hệ: nhiều bất phương trình; nghiệm của hệ thoả tất cả.
Miền nghiệm của hệ = giao các nửa mặt phẳng, luôn lồi.
Tìm đỉnh: giải từng cặp bờ, giữ các giao điểm thoả mọi bất phương trình còn lại.
Miền có thể là đa giác, không bị chặn, đoạn, điểm hoặc rỗng.
Diện tích đa giác: chia nhỏ hoặc công thức toạ độ với các đỉnh theo thứ tự vòng quanh.

Tiếp theoPhương pháp →