Hàm số bậc hai và phép tịnh tiến parabol

• $a$ là hệ số của $x^2$, $b$ là hệ số của $x$, $c$ là hệ số tự do (hạng tử không chứa $x$).
• Điều kiện $a \ne 0$ là bắt buộc: nếu $a = 0$ thì còn lại $y = bx + c$, là hàm số bậc nhất hoặc hàm hằng.
• $b$ hoặc $c$ được phép bằng $0$. Chẳng hạn $y = -x^2 + 4$ có $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$; $y = 3x^2$ có $b = c = 0$.
• Công thức có thể chưa ở dạng chuẩn, cần khai triển và thu gọn rồi mới đọc hệ số. Ví dụ $y = (x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$ có $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$.

Hàm $y = ax^2$ mà em đã gặp ở lớp 9 là trường hợp riêng $b = c = 0$.

Lập bảng giá trị của $y = x^2$:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Nối các điểm bằng một đường cong trơn, ta được đường parabol đi qua gốc tọa độ $O$.

Đồ thị của $y = ax^2$ ($a \ne 0$) có các tính chất:

• Đi qua gốc $O(0;0)$, và $O$ là điểm thấp nhất (khi $a>0$) hoặc cao nhất (khi $a<0$) của đồ thị. Điểm ấy gọi là đỉnh của parabol.
• Nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng, vì $f(-x) = f(x)$: hai điểm có hoành độ đối nhau thì cùng tung độ.
• $a > 0$: bề lõm hướng lên, đồ thị nằm phía trên trục hoành. $a < 0$: bề lõm hướng xuống, đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
• $\lvert a\rvert$ càng lớn thì parabol càng "nhọn" (hẹp lại, dựng đứng); $\lvert a\rvert$ càng nhỏ thì parabol càng "bè" (rộng ra). Chẳng hạn tại $x = 2$: $y = 2x^2$ cho $8$, $y = x^2$ cho $4$, $y = \tfrac12 x^2$ cho $2$.
• Hai parabol $y = ax^2$ và $y = -ax^2$ đối xứng nhau qua trục hoành.

Lấy parabol $(P_0)$: $y = ax^2$. Dịch chuyển cả đồ thị sang phải $p$ đơn vị và lên $q$ đơn vị (nếu $p<0$ là sang trái, $q<0$ là xuống dưới).

Một điểm $(x_0; y_0)$ của $(P_0)$ sau khi dịch trở thành điểm $(x_0 + p;\ y_0 + q)$. Gọi $(x; y)$ là điểm mới, ta có $x_0 = x - p$, $y_0 = y - q$. Thay vào $y_0 = a x_0^2$:

$$y - q = a(x-p)^2 \quad\Longleftrightarrow\quad y = a(x-p)^2 + q.$$

Ở bài sau, ta sẽ thấy mọi hàm số bậc hai $y = ax^2+bx+c$ đều viết được dưới dạng $a(x-p)^2+q$, nên đồ thị của chúng đều là parabol tịnh tiến từ $y=ax^2$.

Nội dung	Kết quả
Hàm số bậc hai	$y = ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$, tập xác định $\mathbb{R}$
$y = ax^2$	Parabol đỉnh $O$, trục $Oy$; $a>0$ lên, $a<0$ xuống; $\lvert a\rvert$ lớn thì hẹp
$y = a(x-p)^2 + q$	$y = ax^2$ tịnh tiến sang phải $p$, lên $q$; đỉnh $(p;q)$, trục $x = p$
Giao $Ox$	$(x-p)^2 = -q/a$, có nghiệm khi $-q/a \ge 0$