Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề, cho biết đúng hay sai.

a) $17$ là số nguyên tố. b) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam. c) $3x - 1 = 8$. d) Mấy giờ rồi? e) $2^{10} = 1000$. f) Hãy làm bài đi! g) Môn Toán rất thú vị.

Giải. a) Là mệnh đề đúng. b) Là mệnh đề đúng. c) Chứa biến $x$ chưa gán giá trị: là mệnh đề chứa biến, không phải mệnh đề. d) Câu hỏi: không phải mệnh đề. e) Là mệnh đề sai, vì $2^{10} = 1024$. f) Câu mệnh lệnh: không phải mệnh đề. g) "Thú vị" không có tiêu chí xác định: không phải mệnh đề.

Vậy các mệnh đề là a), b), e); trong đó a), b) đúng, e) sai.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề:

a) $\sqrt 2$ là số hữu tỉ. b) Tổng ba góc của một tam giác bằng $180^\circ$. c) $15$ chia hết cho $4$. d) $2025$ là số chính phương.

Giải. a) Sai: $\sqrt 2$ là số vô tỉ. b) Đúng. c) Sai: $15 = 4 \cdot 3 + 3$, dư $3$. d) Đúng: $2025 = 45^2$.

Cho $P(x)$: "$x^2 - 3x + 2 < 0$" với $x \in \mathbb{R}$. Với mỗi giá trị $x = 0$, $x = 1{,}5$, $x = 3$, mệnh đề $P(x)$ đúng hay sai? Tìm tập chân lý của $P(x)$.

Giải.

• $x = 0$: $0 - 0 + 2 = 2 < 0$ là sai.
• $x = 1{,}5$: $2{,}25 - 4{,}5 + 2 = -0{,}25 < 0$ là đúng.
• $x = 3$: $9 - 9 + 2 = 2 < 0$ là sai.

Vì $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ nhận giá trị âm khi $x$ nằm giữa $1$ và $2$, tập chân lý là khoảng $(1; 2)$. (Hai đầu mút $1$ và $2$ làm biểu thức bằng $0$, không thoả "$<0$", nên bị loại.)

Cho $Q(n)$: "$n^2 + 1$ là số nguyên tố" với $n \in \mathbb{N}$, $n \le 6$. Với những giá trị nào của $n$ thì $Q(n)$ là mệnh đề đúng?

Giải. Thử lần lượt:

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$n^2 + 1$	$1$	$2$	$5$	$10$	$17$	$26$	$37$
Nguyên tố?	không	có	có	không	có	không	có

Vậy $Q(n)$ đúng khi $n \in \{1; 2; 4; 6\}$. (Chú ý $1$ không phải số nguyên tố.)

Câu "Lớp 10A có $45$ học sinh" có phải mệnh đề không? Còn câu "Số học sinh lớp 10A là $n$, $n$ là số chẵn" thì sao?

Giải. Câu thứ nhất là mệnh đề: ta kiểm tra bằng sổ lớp được là đúng hoặc sai. Câu thứ hai chứa biến $n$ chưa có giá trị cụ thể nên chỉ là mệnh đề chứa biến; khi biết $n = 45$ ta được mệnh đề sai, khi biết $n = 40$ ta được mệnh đề đúng.