Giao, hợp, hiệu và phần bù của các tập hợp

Cho $A = \{1; 2; 3; 4\}$, $B = \{3; 4; 5\}$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$.

Giải. $A \cap B = \{3; 4\}$; $A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5\}$; $A \setminus B = \{1; 2\}$; $B \setminus A = \{5\}$.

Cho $A = [-2; 3)$, $B = (1; 5]$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$ và $C_{\mathbb{R}} A$.

Giải. Trên trục số: $A$ phủ từ $-2$ (có) tới $3$ (không); $B$ phủ từ $1$ (không) tới $5$ (có).

• $A \cap B$: $x$ thuộc cả hai khi $1 < x < 3$. Đầu mút $1$: không thuộc $B$; đầu mút $3$: không thuộc $A$. Vậy $A \cap B = (1; 3)$.
• $A \cup B = [-2; 5]$, vì hai tập chồng lên nhau ($1$ và $3$ nằm trong phần chung), $-2 \in A$ và $5 \in B$ nên cả hai đầu mút đều có mặt.
• $A \setminus B$: phần của $A$ nằm ngoài $B$ là $x \in [-2; 3)$ và ($x \le 1$ hoặc $x > 5$). Chú ý $1 \in A$ và $1 \notin B$, nên $1$ thuộc hiệu: $A \setminus B = [-2; 1]$.
• $B \setminus A$: phần của $B$ ngoài $A$: $x \in (1; 5]$ và $x \ge 3$ (vì $x \notin A$ khi $x \ge 3$). Điểm $3 \in B$ và $3 \notin A$ nên có mặt: $B \setminus A = [3; 5]$.
• $C_{\mathbb{R}} A = \mathbb{R} \setminus A = (-\infty; -2) \cup [3; +\infty)$. Đầu mút $-2 \in A$ nên bị loại khỏi phần bù, còn $3 \notin A$ nên có mặt.

Cho $A = (-\infty; 2]$, $B = (0; +\infty)$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$, $B \setminus A$.

Giải. $A \cap B = (0; 2]$. $A \cup B = \mathbb{R}$ (mọi số thực hoặc $\le 2$ hoặc $> 0$). $A \setminus B$: các số $\le 2$ và không thuộc $B$ (tức $\le 0$): $(-\infty; 0]$. $B \setminus A$: các số $> 0$ và không $\le 2$: $(2; +\infty)$.

Cho $A = (-3; -1)$, $B = [-1; 2]$. Tìm $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.

Giải. Điểm $-1$ thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$. Hai tập không có điểm chung: $A \cap B = \varnothing$. $A \cup B = (-3; 2]$ (ghép liền vì $-1$ nằm trong $B$). $A \setminus B = A = (-3; -1)$ vì không có phần tử nào của $A$ nằm trong $B$.

Cho $A = [-4; 2]$, $B = (-1; 6)$, $C = (0; 3]$. Tìm $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $(A \cup B) \setminus C$, $(A \cap B) \setminus C$.

Giải.

• $A \cap B = (-1; 2]$; giao với $C$: $A \cap B \cap C = (0; 2]$.
• $A \cup B = [-4; 6)$. Vì $C = (0; 3] \subset [-4; 6)$, nên $A \cup B \cup C = [-4; 6)$.
• $(A \cup B) \setminus C = [-4; 6)$ bỏ $(0; 3]$: còn $[-4; 0] \cup (3; 6)$.
• $(A \cap B) \setminus C = (-1; 2]$ bỏ $(0; 3]$: còn $(-1; 0]$.

Giải hệ $\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 - 2x \ge -1 \end{cases}$ và viết tập nghiệm bằng kí hiệu khoảng.

Giải. Bất phương trình thứ nhất cho $x > 1$: tập nghiệm $S_1 = (1; +\infty)$. Bất phương trình thứ hai cho $-2x \ge -6$, tức $x \le 3$: $S_2 = (-\infty; 3]$. Tập nghiệm của hệ là giao: $S = S_1 \cap S_2 = (1; 3]$.

Tìm $C_{\mathbb{R}} (0; 1)$ và $C_{\mathbb{R}} [2; 5)$.

Giải. $C_{\mathbb{R}} (0; 1) = (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$ (hai đầu mút $0$, $1$ không thuộc khoảng nên thuộc phần bù). $C_{\mathbb{R}} [2; 5) = (-\infty; 2) \cup [5; +\infty)$ (đầu mút $2$ thuộc tập nên bị loại; $5$ không thuộc tập nên có mặt).