Điều kiện xác định và phương trình √f(x) = √g(x)

Giải $\sqrt{3x - 2} = \sqrt{x + 4}$.

Giải. Bình phương: $3x - 2 = x + 4$, suy ra $x = 3$. Kiểm: $x + 4 = 7 \ge 0$ và $3x - 2 = 7$. Hai vế đều bằng $\sqrt7$. Vậy $S = \{3\}$.

Giải $\sqrt{2x^2 - x - 6} = \sqrt{x^2 + x + 2}$.

Giải. Bình phương: $2x^2 - x - 6 = x^2 + x + 2$, tức $x^2 - 2x - 8 = 0$. Có $\Delta' = 1 + 8 = 9$, nghiệm $x = 4$ hoặc $x = -2$.

• $x = 4$: $x^2 + x + 2 = 22 \ge 0$. Nhận. Cả hai vế đều là $\sqrt{22}$.
• $x = -2$: $x^2 + x + 2 = 4 - 2 + 2 = 4 \ge 0$. Nhận. Cả hai vế đều là $\sqrt4 = 2$.

Vậy $S = \{-2; 4\}$. Không phải lúc nào cũng loại nghiệm: phải kiểm thì mới biết.

Giải $\sqrt{x^2 - 2x - 3} = \sqrt{2x - 6}$.

Giải. Bình phương: $x^2 - 2x - 3 = 2x - 6$, tức $x^2 - 4x + 3 = 0$, nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 3$. Điều kiện $2x - 6 \ge 0$, tức $x \ge 3$.

• $x = 1$: $2x - 6 = -4 < 0$. Loại. (Khi đó $x^2 - 2x - 3 = -4$ cũng âm, đúng như đồ thị: giao điểm ở dưới trục.)
• $x = 3$: $2x - 6 = 0$, vế trái $\sqrt{9 - 6 - 3} = 0$, vế phải $\sqrt0 = 0$. Nhận.

Vậy $S = \{3\}$. Lưu ý $0 = 0$ vẫn là nghiệm: điều kiện là "$\ge 0$", không phải "$> 0$".

Giải $\sqrt{x^2 - 2x - 3} = \sqrt{x - 5}$.

Giải. Bình phương: $x^2 - 2x - 3 = x - 5$, tức $x^2 - 3x + 2 = 0$, nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 2$. Điều kiện $x - 5 \ge 0$, tức $x \ge 5$. Cả hai nghiệm đều nhỏ hơn $5$ nên bị loại ($x - 5 = -4$ và $-3$). Vậy $S = \varnothing$.

Nhận xét: nhìn điều kiện $x \ge 5$ trước, ta đã thấy mọi nghiệm phải lớn hơn hoặc bằng $5$, nên có thể dự đoán khả năng vô nghiệm.

Giải $\sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x + 2}$.

Giải. Bình phương: $x^2 + x + 1 = 2x + 2$, tức $x^2 - x - 1 = 0$. Có $\Delta = 5$, nghiệm $x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$, xấp xỉ $1{,}618$ và $-0{,}618$.

Điều kiện $2x + 2 \ge 0$, tức $x \ge -1$. Cả hai nghiệm đều $\ge -1$ (vì $-0{,}618 > -1$). Cả hai được nhận, không cần thay căn vô tỉ vào phương trình. Vậy $S = \left\{\dfrac{1 - \sqrt5}{2};\ \dfrac{1 + \sqrt5}{2}\right\}$.