Bất phương trình bậc hai chứa trị tuyệt đối

Giải $\lvert x^2 - 3x \rvert < 4$.

Giải. Bất phương trình tương đương $-4 < x^2 - 3x < 4$, tức hệ

Bất phương trình đầu có $\Delta = 9 - 16 = -7 < 0$, $a > 0$ nên đúng với mọi $x$. Bất phương trình hai có nghiệm $-1$, $4$ nên cho $(-1; 4)$. Giao: $S = (-1; 4)$. Thử $x = 0$: $0 < 4$ đúng; $x = 5$: $10 < 4$ sai.

Giải $\lvert x^2 - 4 \rvert \ge 3$.

Giải. Tách thành hai trường hợp:

• $x^2 - 4 \ge 3 \iff x^2 \ge 7 \iff x \le -\sqrt7$ hoặc $x \ge \sqrt7$.
• $x^2 - 4 \le -3 \iff x^2 \le 1 \iff -1 \le x \le 1$.

Hợp: $S = (-\infty; -\sqrt7] \cup [-1; 1] \cup [\sqrt7; +\infty)$.

Giải $\lvert x - 1 \rvert \le x^2 - 3$.

Giải.

Trường hợp $x \ge 1$. $\lvert x - 1 \rvert = x - 1$, bất phương trình thành $x - 1 \le x^2 - 3$, tức $x^2 - x - 2 \ge 0$, nghiệm $x \le -1$ hoặc $x \ge 2$. Giao với $x \ge 1$: $[2; +\infty)$.

Trường hợp $x < 1$. $\lvert x - 1 \rvert = 1 - x$, bất phương trình thành $1 - x \le x^2 - 3$, tức $x^2 + x - 4 \ge 0$. Nghiệm của $x^2 + x - 4 = 0$ là $\dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$, xấp xỉ $-2{,}56$ và $1{,}56$. Vậy $x \le \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ hoặc $x \ge \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Giao với $x < 1$: $\left(-\infty; \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}\right]$ (vì $1{,}56 > 1$ nên khoảng thứ hai bị loại).

Hợp hai trường hợp: $S = \left(-\infty; \dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2}\right] \cup [2; +\infty)$.

Giải $\lvert x + 1 \rvert < \lvert 2x - 3 \rvert$.

Giải. Hai vế không âm nên bình phương: $(x + 1)^2 < (2x - 3)^2$, tức $(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 > 0$. Phân tích hiệu hai bình phương: $[(2x - 3) - (x + 1)][(2x - 3) + (x + 1)] = (x - 4)(3x - 2) > 0$. Nghiệm $x = 4$, $x = \dfrac23$, $a = 3 > 0$ nên dương ở ngoài: $S = \left(-\infty; \dfrac23\right) \cup (4; +\infty)$. Thử $x = 0$: $1 < 3$ đúng; $x = 2$: $3 < 1$ sai; $x = 5$: $6 < 7$ đúng.

Giải $\lvert x^2 - 2x \rvert \le x$.

Giải. Vì $\lvert x^2 - 2x \rvert \ge 0$ nên cần $x \ge 0$ (nếu $x < 0$ thì vế phải âm, bất phương trình vô nghiệm). Với $x \ge 0$: $-x \le x^2 - 2x \le x$. Bất phương trình $x^2 - 2x \le x$ cho $x^2 - 3x \le 0$, tức $0 \le x \le 3$. Bất phương trình $-x \le x^2 - 2x$ cho $x^2 - x \ge 0$, tức $x \le 0$ hoặc $x \ge 1$. Giao với $x \ge 0$ ta được $\{0\} \cup [1; 3]$. Vậy $S = \{0\} \cup [1; 3]$. Thử $x = 0{,}5$: $\lvert 0{,}25 - 1 \rvert = 0{,}75 \le 0{,}5$ sai, nên $0{,}5 \notin S$ như kết quả; $x = 2$: $0 \le 2$ đúng; $x = 3$: $3 \le 3$ đúng.