Tổng và hiệu của hai vectơ

Rút gọn: a) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DE}$; b) $\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{PQ}$.

Giải. a) Sắp lại cho nối đuôi: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$.

b) $-\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{NP}$, nên biểu thức bằng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}$.

Chứng minh với bốn điểm bất kì $A$, $B$, $C$, $D$: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}$.

Giải. Chèn điểm $C$ vào $\overrightarrow{AB}$:

Tam giác đều $ABC$ cạnh $4$. Tính $\left\lvert\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right\rvert$ và $\left\lvert\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\right\rvert$.

Giải. Dựng hình bình hành $ABDC$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$. Đường chéo $AD$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$ và $AD = 2AM$. Đường trung tuyến của tam giác đều cạnh $4$ là $AM = 2\sqrt3$, nên $\left\lvert\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right\rvert = 4\sqrt3$.

Theo quy tắc hiệu, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$, nên độ dài bằng $4$.

a) Hai lực có cường độ $5$ N và $8$ N cùng đặt tại một điểm, hợp với nhau góc $60^\circ$. Tính cường độ hợp lực.

b) Hai lực $30$ N và $40$ N vuông góc với nhau tác động lên một vật. Cần thêm lực thứ ba thế nào để vật cân bằng?

Giải. a) $\lvert\vec F\rvert^2 = 25 + 64 + 2\cdot 5\cdot 8\cdot\dfrac12 = 129$, nên $\lvert\vec F\rvert = \sqrt{129} \approx 11{,}36$ N. (Nhỏ hơn $5 + 8 = 13$ N.)

b) Hợp lực có cường độ $\sqrt{30^2 + 40^2} = 50$ N. Lực thứ ba phải là vectơ đối của hợp lực: cường độ $50$ N, ngược hướng với hợp lực.