Phương pháp · Ứng dụng của tích vô hướng · Toán 10

01Phương pháp giải theo dạng

Chọn hai vectơ cơ sở đã biết độ dài và tích vô hướng (hai cạnh chung đỉnh của hình chữ nhật, hình vuông, tam giác…).
Phân tích hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng theo cơ sở.
Khai triển tích vô hướng, chỉ ra bằng 0. Với bài có tham số (tìm điểm để vuông góc), đặt tích bằng 0 và giải.

Đổi độ dài sang bình phương vô hướng: $AB^2 = \overrightarrow{AB}^2$ .
Chèn điểm (trung điểm, trọng tâm, gốc chung) để các vectơ chung gốc.
Khai triển, dùng $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$ , $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec 0$ để triệt tiêu.

$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = k$ : đổi thành $MI^2 = k + \dfrac{AB^2}{4}$ . Vế phải dương: đường tròn tâm $I$ ; bằng 0: chỉ điểm $I$ ; âm: không có điểm nào. Riêng $k = 0$ : đường tròn đường kính $AB$ .
$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB} = k$ : gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$ , thì $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB} = k$ xác định một điểm $H$ cố định; tập hợp là đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$ .
$MA^2 + MB^2 = k$ hoặc tổng có trọng số: dùng mục 4 đưa về $MI^2 = \text{hằng số}$ .
Hệ thức chỉ có tổng, hiệu vectơ xem bài Xác định điểm và tập hợp điểm.

Chèn trọng tâm $G$ : tổng $= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$ .
Giá trị nhỏ nhất bằng $GA^2 + GB^2 + GC^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{3}$ , đạt khi $M \equiv G$ .

Tìm $I$ thoả $\alpha\overrightarrow{IA} + \beta\overrightarrow{IB} + \gamma\overrightarrow{IC} = \vec 0$ (theo toạ độ: $I = \dfrac{\alpha A + \beta B + \gamma C}{\alpha + \beta + \gamma}$ ).
Theo mục 4, tổng $= (\alpha + \beta + \gamma)MI^2 + \text{hằng số}$ .
Nếu $\alpha + \beta + \gamma > 0$ : nhỏ nhất khi $M \equiv I$ , giá trị bằng $\alpha IA^2 + \beta IB^2 + \gamma IC^2$ . Nếu $M$ bị buộc nằm trên một đường thẳng, lấy $M$ là hình chiếu của $I$ lên đường đó.

Lỗi	Vì sao sai	Cách tránh
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - AB^2$	Quên chia 4 ( $IA = \dfrac{AB}{2}$ )	Viết rõ $IA^2 = \dfrac{AB^2}{4}$
Kết luận "đường tròn" khi $k + \dfrac{AB^2}{4} < 0$	Bình phương không âm	Xét dấu vế phải trước
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{9}$	Nhầm hệ số	$GA = \dfrac23 m_a$ , cộng ba công thức trung tuyến ra $\dfrac13$
Chọn sai điểm $I$ trong tổng có trọng số	Lấy trung bình không trọng số	$I = \dfrac{\alpha A + \beta B + \gamma C}{\alpha + \beta + \gamma}$
Không nói $M$ ở đâu thì đạt giá trị nhỏ nhất	Thiếu điều kiện dấu bằng	Luôn chỉ ra điểm đạt