Miền nghiệm chứa trị tuyệt đối và diện tích

Tính diện tích miền nghiệm của $\lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le 3$.

Giải. Cách 1 (đường chéo). Miền là hình vuông có đỉnh $(\pm 3;\,0)$, $(0;\,\pm 3)$; hai đường chéo cùng dài $6$. $S = \dfrac{6\cdot 6}{2} = 18$.

Cách 2 (góc phần tư). Ở góc phần tư I, miền là tam giác $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 3$ có hai cạnh góc vuông $3$, diện tích $\tfrac92$. Nhân $4$ (đối xứng): $18$.

Cách 3 (cạnh). Cạnh hình vuông nối $(3;\,0)$ và $(0;\,3)$ dài $3\sqrt2$, $S = (3\sqrt2)^2 = 18$. Ba cách cùng cho $18$.

Tính diện tích miền nghiệm của $\lvert x - 1\rvert + \lvert y + 2\rvert \le 4$.

Giải. Đặt $u = x - 1$, $v = y + 2$: miền $\lvert u\rvert + \lvert v\rvert \le 4$ là hình vuông tâm $(u;\,v) = (0;\,0)$, tức tâm $(1;\,-2)$ trong hệ $Oxy$. Tịnh tiến không đổi diện tích: hai đường chéo dài $8$, $S = \dfrac{8\cdot 8}{2} = 32$ (cũng $2r^2 = 2\cdot 16$). Các đỉnh: $(5;\,-2)$, $(-3;\,-2)$, $(1;\,2)$, $(1;\,-6)$.

Tính diện tích miền nghiệm của $2 \le \lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le 3$.

Giải. Miền là hình vuông lớn ($\lvert x\rvert + \lvert y\rvert \le 3$, diện tích $18$) bỏ đi phần trong của hình vuông nhỏ ($\lvert x\rvert + \lvert y\rvert < 2$, đường chéo $4$, diện tích $\tfrac{4\cdot 4}2 = 8$): $S = 18 - 8 = 10$.

Tính diện tích miền nghiệm của $\lvert 2x\rvert + \lvert 3y\rvert \le 6$.

Giải. Đỉnh trên các trục: $y = 0$ cho $\lvert x\rvert = 3$, tức $(\pm 3;\,0)$; $x = 0$ cho $\lvert y\rvert = 2$, tức $(0;\,\pm 2)$. Hình thoi có hai đường chéo $6$ và $4$: $S = \dfrac{6\cdot 4}{2} = 12$. (Công thức $\dfrac{2c^2}{pq} = \dfrac{2\cdot 36}{6} = 12$, khớp.)

Tính diện tích miền nghiệm của hệ $\lvert x - y\rvert \le 2$, $\lvert x + y\rvert \le 4$.

Giải. Miền là phần chung của hai dải: dải giữa $x - y = -2$ và $x - y = 2$, dải giữa $x + y = -4$ và $x + y = 4$. Hai họ đường vuông góc nhau (hệ số góc $1$ và $-1$) nên giao là hình chữ nhật. Các đỉnh giải từ cặp phương trình: $x - y = 2$, $x + y = 4$ cho $(3;\,1)$; $x - y = 2$, $x + y = -4$ cho $(-1;\,-3)$; $x - y = -2$, $x + y = -4$ cho $(-3;\,-1)$; $x - y = -2$, $x + y = 4$ cho $(1;\,3)$. Cạnh nối $(3;\,1)$ và $(-1;\,-3)$ dài $4\sqrt2$; cạnh nối $(-1;\,-3)$ và $(-3;\,-1)$ dài $2\sqrt2$. $S = 4\sqrt2\cdot 2\sqrt2 = 16$ (cũng $2mn = 2\cdot 2\cdot 4$).