Tập xác định và tập giá trị

Tìm tập xác định của $y = \dfrac{3x - 1}{x^2 - 4}$.

Giải. Cần $x^2 - 4 \ne 0$, tức $(x - 2)(x + 2) \ne 0$, nên $x \ne 2$ và $x \ne -2$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$.

Tìm tập xác định của $y = \sqrt{3 - x} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$.

Giải.

• Căn thứ nhất: $3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$.
• Căn ở mẫu: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$ (vừa có căn vừa nằm ở mẫu nên phải lớn hơn $0$).

Giao: $-2 < x \le 3$. Vậy $D = (-2; 3]$.

Tìm tập xác định của $y = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$.

Giải. Điều kiện: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ và $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$. Vậy $D = [-2; +\infty) \setminus \{1\}$. Ở đây phải loại điểm $x = 1$ dù nó đã nằm trong nửa khoảng $[-2; +\infty)$.

Tìm tập xác định của $y = \dfrac{1}{|x - 2|} - \sqrt{x + 5}$.

Giải. Mẫu: $|x - 2| \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$. Căn: $x \ge -5$. Vậy $D = [-5; +\infty) \setminus \{2\}$.

Tìm tập xác định của $y = \sqrt{x^2 - 4} + \dfrac{1}{x + 3}$.

Giải. Từ căn: $x^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0$. Bảng dấu cho $x \le -2$ hoặc $x \ge 2$. Từ mẫu: $x \ne -3$. Giao: $D = (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ rồi loại $-3$ (nó nằm trong $(-\infty; -2]$): $D = (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup [2; +\infty)$.

Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x - m}$ xác định trên khoảng $(0; 1)$.

Giải. $D = \mathbb{R} \setminus \{m\}$. Hàm xác định trên $(0; 1)$ khi $(0; 1)$ không chứa điểm $m$, tức $m \notin (0; 1)$, nghĩa là $m \le 0$ hoặc $m \ge 1$.

Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt{x - m + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{m + 1 - x}}$ xác định trên đoạn $[0; 2]$.

Giải. Điều kiện: $x \ge m - 2$ và $x < m + 1$, nên $D = [m - 2;\ m + 1)$. Cần $[0; 2] \subset D$:

• đầu trái: $m - 2 \le 0 \Rightarrow m \le 2$;
• đầu phải: $D$ mở tại $m + 1$, $[0; 2]$ đóng tại $2$ nên cần $m + 1 > 2 \Rightarrow m > 1$.

Vậy $1 < m \le 2$, tức $m \in (1; 2]$.

Tìm $m$ để tập xác định của $y = \sqrt{2x - m} + \dfrac{1}{\sqrt{6 - x}}$ là $[1; 6)$.

Giải. Điều kiện: $2x - m \ge 0 \Rightarrow x \ge \dfrac m2$ và $6 - x > 0 \Rightarrow x < 6$. Vậy $D = \left[\dfrac m2; 6\right)$ (khi $\dfrac m2 < 6$). Để $D = [1; 6)$ cần $\dfrac m2 = 1$, tức $m = 2$.

Tìm $m$ để hàm số $y = \sqrt{x - m + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{2m - x}}$ xác định trên khoảng $(0; 1)$.

Giải. Điều kiện: $x \ge m - 1$ và $x < 2m$, nên $D = [m - 1;\ 2m)$ (khi $m - 1 < 2m$, tức $m > -1$). Cần $(0; 1) \subset D$:

• đầu trái: $m - 1 \le 0 \Rightarrow m \le 1$;
• đầu phải: cả hai mở tại $1$ và $2m$, nên cần $2m \ge 1 \Rightarrow m \ge \tfrac12$.

Hai điều kiện đều kéo theo $m > -1$ nên không cần xét thêm. Vậy $m \in \left[\tfrac12; 1\right]$.

Tìm tập giá trị của a) $y = x^2 + 1$; b) $y = \sqrt{x - 1}$; c) $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$; d) $y = 3 - 2x$ trên $[0; 2]$.

Giải. a) $x^2 \ge 0$ nên $y \ge 1$; và $y = 1$ khi $x = 0$, mọi $y \ge 1$ đều đạt được ($x = \sqrt{y - 1}$). $T = [1; +\infty)$.

b) $D = [1; +\infty)$, căn luôn $\ge 0$ và nhận mọi giá trị $\ge 0$ ($x = y^2 + 1$). $T = [0; +\infty)$.

c) $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Tách $y = \dfrac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$. Vì $\dfrac{3}{x - 1} \ne 0$ nên $y \ne 2$. Còn mọi $y \ne 2$ đều đạt được: từ $y = 2 + \dfrac{3}{x - 1}$ suy $x = 1 + \dfrac{3}{y - 2}$. $T = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

d) $y = 3 - 2x$ giảm khi $x$ tăng. $x = 0 \Rightarrow y = 3$; $x = 2 \Rightarrow y = -1$. $T = [-1; 3]$.