Tịnh tiến, đối xứng đồ thị và tính chẵn, lẻ

Tịnh tiến đồ thị $y = 2x - 1$ sang phải $3$ đơn vị và lên trên $2$ đơn vị. Viết phương trình đồ thị mới.

Giải. $y = 2(x - 3) - 1 + 2 = 2x - 6 + 1 = 2x - 5$. Kiểm: điểm $(0; -1)$ thuộc đồ thị gốc, chuyển thành $(3; 1)$; thay vào $2x - 5$: $2\cdot 3 - 5 = 1$. Đúng.

Tịnh tiến $y = x^2$ sang trái $2$ đơn vị và xuống dưới $1$ đơn vị.

Giải. Sang trái $2$: thay $x$ bằng $x + 2$; xuống $1$: trừ $1$. $y = (x + 2)^2 - 1 = x^2 + 4x + 3$. Điểm gốc $O(0; 0)$ chuyển thành $(-2; -1)$, thoả: $(-2 + 2)^2 - 1 = -1$.

Viết phương trình đồ thị nhận được khi tịnh tiến $y = |x|$ sang phải $1$ đơn vị và lên $3$ đơn vị. Đỉnh mới ở đâu?

Giải. $y = |x - 1| + 3$. Đỉnh chữ V từ $(0; 0)$ chuyển thành $(1; 3)$.

Tịnh tiến $y = \dfrac1x$ sang phải $2$ và lên $1$. Rút gọn công thức và nêu tập xác định, tập giá trị.

Giải. $y = \dfrac{1}{x - 2} + 1 = \dfrac{1 + (x - 2)}{x - 2} = \dfrac{x - 1}{x - 2}$. Gốc có $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $T = \mathbb{R} \setminus \{0\}$; mới: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$, $T = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

a) Đồ thị $y = (x - 3)^2 + 2$ nhận được từ $y = x^2$ bằng phép tịnh tiến nào? b) Đồ thị $y = \sqrt{x + 1} - 2$ nhận được từ $y = \sqrt{x}$ bằng phép tịnh tiến nào?

Giải. a) $(x - 3)^2 + 2 = f(x - 3) + 2$ với $f(x) = x^2$: sang phải $3$, lên $2$. b) $\sqrt{x + 1} - 2 = f(x - (-1)) - 2$: sang trái $1$, xuống $2$.

Tìm các phép tịnh tiến (sang phải $a$, lên $b$) biến đường thẳng $y = 2x + 1$ thành $y = 2x - 5$. Có bao nhiêu phép như thế?

Giải. Đồ thị mới $y = 2(x - a) + 1 + b = 2x - 2a + 1 + b$. Cần $-2a + 1 + b = -5$, tức $b = 2a - 6$. Mọi cặp $(a; 2a - 6)$ đều được, vô số phép; chẳng hạn $(3; 0)$ (sang phải $3$) hay $(0; -6)$ (xuống $6$). Lý do: dời đường thẳng dọc theo chính nó thì nó vẫn trùng với nó.

Viết công thức đồ thị của $y = x^2 + 2x$ sau khi đối xứng qua a) $Ox$; b) $Oy$; c) gốc $O$.

Giải. a) $y = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$. b) $y = (-x)^2 + 2(-x) = x^2 - 2x$. c) $y = -[(-x)^2 + 2(-x)] = -x^2 + 2x$.

Xét tính chẵn lẻ của $f(x) = x^3 - 3x$.

Giải. $D = \mathbb{R}$, đối xứng. $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$. Vậy $f$ lẻ.

Xét $g(x) = |x + 1| + |x - 1|$.

Giải. $D = \mathbb{R}$. $g(-x) = |-x + 1| + |-x - 1| = |x - 1| + |x + 1| = g(x)$. Vậy $g$ chẵn.

Xét $h(x) = x^2 + x$ và $k(x) = \sqrt{x}$.

Giải. $h(1) = 2$, $h(-1) = 0$. $h(-1) \ne h(1)$ nên không chẵn; $h(-1) \ne -h(1)$ nên không lẻ. Với $k$: $D = [0; +\infty)$ không đối xứng ($1 \in D$ nhưng $-1 \notin D$), nên $k$ không chẵn không lẻ.

a) Tìm $m$ để $f(x) = x^2 + (m - 1)x$ là hàm chẵn. b) Tìm $m$ để $g(x) = x^3 + (m - 2)x^2$ là hàm lẻ.

Giải. a) $f(-x) = x^2 - (m - 1)x$. $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ khi $-(m - 1)x = (m - 1)x$, tức $2(m - 1)x = 0$ với mọi $x$, nên $m = 1$.

b) $g(-x) = -x^3 + (m - 2)x^2$. Cần $g(-x) = -g(x) = -x^3 - (m - 2)x^2$, tức $2(m - 2)x^2 = 0$ với mọi $x$, nên $m = 2$.

Xét tính chẵn lẻ của $y = \dfrac{x}{x^2 - 1}$ và $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$.

Giải. Với $y_1 = \dfrac{x}{x^2 - 1}$: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$ đối xứng; $y_1(-x) = \dfrac{-x}{x^2 - 1} = -y_1(x)$: lẻ. Với $y_2 = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ không đối xứng ($-1 \in D$ nhưng $1 \notin D$); hàm không chẵn không lẻ.