Phương trình hàm đơn giản bằng phép thế

Thay $x \to -x$: $f(-x) + 3f(x) = -4x$. Nhân phương trình này với $3$: $3f(-x) + 9f(x) = -12x$. Trừ phương trình đầu: $8f(x) = -16x$, nên $f(x) = -2x$. Thử: $f(-x) = 2x$, $-2x + 3\cdot 2x = 4x$. Đúng.

Đặt $t = x - 2$, $x = t + 2$: $f(t) = 2(t + 2) + 3 = 2t + 7$, vậy $f(x) = 2x + 7$.

$f(1) = 3$, $f(2) = 5$, $f(3) = 7$, $f(4) = 9$, $f(5) = 11$.

Có, ví dụ $f(x) = \dfrac x2 + 1$: $f(x) - f(-x) = \dfrac x2 - (-\dfrac x2) = x$ và $f(0) = 1$. (Có vô số hàm: cộng thêm một hàm chẵn bất kì có giá trị $0$ tại $0$ vẫn thoả.)

Từ công thức: $f(2) = 1 - 2 = -1$. Từ hệ: $f(2) + 2f(\dfrac12) = 6$ và $f(\dfrac12) + 2f(2) = \dfrac32$. Nhân phương trình hai với $2$ rồi trừ phương trình đầu: $3f(2) = 3 - 6 = -3$, nên $f(2) = -1$. Khớp.