Định lí côsin

Tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 15$, $A = 60^\circ$. Tính $a$.

Giải. Góc $A$ xen giữa hai cạnh $b$, $c$. Theo định lí côsin:

nên $a = 13$.

Tam giác $ABC$ có $a = 19$, $b = 5$, $c = 16$. Tính góc $A$.

Giải. $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 256 - 361}{2\cdot 5\cdot 16} = \dfrac{-80}{160} = -\dfrac12,$ nên $A = 120^\circ$.

Tam giác có ba cạnh $6$, $7$, $10$ có góc tù không? Nếu có, tính côsin của góc đó.

Giải. Cạnh lớn nhất là $10$. Ta có $6^2 + 7^2 - 10^2 = 85 - 100 = -15 < 0$, nên góc đối diện cạnh $10$ là góc tù, với

$$\cos\alpha = \frac{-15}{2\cdot 6\cdot 7} = -\frac{5}{28}, \qquad \alpha \approx 100^\circ 17'.$$

Tam giác $ABC$ có $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. Tính các góc $C$ và $A$ (làm tròn đến phút).

Giải. $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{16 + 25 - 36}{40} = \dfrac18 \ \Rightarrow\ C \approx 82^\circ 49',$ $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 16}{60} = \dfrac34 \ \Rightarrow\ A \approx 41^\circ 25'.$

Trở lại phần Khởi động: hai bức tường dài $30$ m và $50$ m, góc giữa chúng là $120^\circ$. Tính độ dài phần rào còn lại.

Giải. Gọi $x$ là độ dài cần tìm; góc $120^\circ$ xen giữa hai cạnh $30$ và $50$:

nên $x = 70$ m. (Lớn hơn $58{,}3$ m như ta dự đoán.)