Chứng minh hệ thức và nhận dạng tam giác

Chứng minh rằng trong mọi tam giác:

$$a(\sin B - \sin C) + b(\sin C - \sin A) + c(\sin A - \sin B) = 0.$$

Giải. Thay $\sin A = \dfrac{a}{2R}$, $\sin B = \dfrac{b}{2R}$, $\sin C = \dfrac{c}{2R}$, vế trái bằng

Chứng minh rằng $a^2 + b^2 + c^2 = 2(bc\cos A + ca\cos B + ab\cos C)$.

Giải. Theo định lí côsin, $2bc\cos A = b^2 + c^2 - a^2$, $2ca\cos B = c^2 + a^2 - b^2$, $2ab\cos C = a^2 + b^2 - c^2$. Cộng ba đẳng thức, vế phải bằng $a^2 + b^2 + c^2$.

Tam giác $ABC$ thoả $b\cos C = c\cos B$. Chứng minh tam giác cân.

Giải. Thay côsin theo cạnh:

Vậy $b = c$, tam giác cân tại $A$.

Tam giác $ABC$ thoả $\sin^2 A = \sin^2 B + \sin^2 C$. Tam giác đó có gì đặc biệt?

Giải. Nhân hai vế với $4R^2$: $a^2 = b^2 + c^2$. Tam giác vuông tại $A$.

Tam giác $ABC$ có diện tích $S = \dfrac14(b^2 + c^2)$. Chứng minh tam giác vuông cân tại $A$.

Giải. Ta có hai đánh giá: $S = \dfrac12 bc\sin A \le \dfrac12 bc$ và, theo Cô-si, $\dfrac14(b^2 + c^2) \ge \dfrac14\cdot 2bc = \dfrac12 bc$. Vậy

Đề cho dấu bằng ở hai đầu, nên mọi dấu bằng ở giữa phải xảy ra: $b = c$ và $\sin A = 1$, tức $A = 90^\circ$. Tam giác vuông cân tại $A$.

Tam giác $ABC$ thoả $a\cos A = b\cos B$. Nhận dạng tam giác.

Giải. Thay côsin theo cạnh rồi nhân hai vế với $2abc$:

Vậy $a = b$ (cân tại $C$) hoặc $c^2 = a^2 + b^2$ (vuông tại $C$).