Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương

Cho $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a$ chia hết cho $6$ thì $a$ chia hết cho $3$." Xét đúng sai của nó và của mệnh đề đảo; phát biểu bằng điều kiện cần, đủ.

Giải.

• Mệnh đề đã cho đúng: $a = 6k = 3 \cdot 2k$.
• Mệnh đề đảo "Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $6$" sai: $a = 3$ là phản ví dụ ($3$ chia hết cho $3$ nhưng không chia hết cho $6$).
• Vậy hai mệnh đề không tương đương. "$a$ chia hết cho $6$" là điều kiện đủ (không cần) để $a$ chia hết cho $3$; "$a$ chia hết cho $3$" là điều kiện cần (không đủ) để $a$ chia hết cho $6$.

Cho $P$: "$x = 2$", $Q$: "$x^2 = 4$" với $x \in \mathbb{R}$. Hỏi $P \Rightarrow Q$, $Q \Rightarrow P$, $P \Leftrightarrow Q$ có đúng không?

Giải.

• $P \Rightarrow Q$ đúng: $x = 2$ thì $x^2 = 4$.
• $Q \Rightarrow P$ sai: $x = -2$ thoả $Q$ nhưng không thoả $P$.
• Do đó $P \Leftrightarrow Q$ sai. Muốn có tương đương phải sửa $P$ thành "$x = 2$ hoặc $x = -2$".

Với $x \in \mathbb{R}$, xét "$x > 2$" và "$x^2 > 4$". Điều kiện nào là cần, đủ, hay cần và đủ?

Giải.

• "$x > 2 \Rightarrow x^2 > 4$" đúng (bình phương hai vế dương).
• "$x^2 > 4 \Rightarrow x > 2$" sai: $x = -3$ có $9 > 4$ nhưng $-3 > 2$ là sai.

Vậy "$x > 2$" là điều kiện đủ (không cần) để có $x^2 > 4$. Điều kiện cần và đủ của $x^2 > 4$ là "$x > 2$ hoặc $x < -2$".

Xét đúng sai: "Với số nguyên $n$: $n$ chẵn khi và chỉ khi $n^2$ chẵn".

Giải. Cần kiểm hai chiều.

• Chiều "$n$ chẵn $\Rightarrow$ $n^2$ chẵn": $n = 2k$ thì $n^2 = 4k^2 = 2 \cdot 2k^2$ chẵn.
• Chiều "$n^2$ chẵn $\Rightarrow$ $n$ chẵn": nếu $n$ lẻ, $n = 2k + 1$ thì $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ lẻ. Tức là "$n$ lẻ thì $n^2$ lẻ", và đó là cách nói khác (phản đảo) của chiều cần chứng minh.

Cả hai chiều đúng nên mệnh đề đúng.

a) Xét đúng sai: "Nếu $1 + 1 = 3$ thì $4$ là số chẵn." b) Lập phủ định của "Nếu $a$ chia hết cho $6$ thì $a$ chia hết cho $3$" và cho biết đúng hay sai.

Giải. a) $P$: "$1 + 1 = 3$" sai nên $P \Rightarrow Q$ đúng (dù $Q$ đúng). b) Phủ định: "$a$ chia hết cho $6$ và $a$ không chia hết cho $3$." Mệnh đề gốc đúng nên phủ định sai: số chia hết cho $6$ thì chắc chắn chia hết cho $3$.