Tập con, hai tập hợp bằng nhau, đếm số tập con

Liệt kê mọi tập con của $A = \{1; 2; 3\}$. Có bao nhiêu tập con có hai phần tử?

Giải. Có $2^3 = 8$ tập con: $\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1; 2\}$, $\{1; 3\}$, $\{2; 3\}$, $\{1; 2; 3\}$. Trong đó có $3$ tập con có hai phần tử.

Cho $A = \{a; b; c\}$. Các khẳng định sau đúng hay sai: a) $a \in A$; b) $\{a\} \subset A$; c) $\{a; b\} \in A$; d) $\varnothing \subset A$; e) $\{a; b; c\} \subset A$; f) $d \in A$.

Giải. a) đúng; b) đúng; c) sai (phải là $\subset$, và $\{a; b\}$ không là phần tử của $A$); d) đúng; e) đúng ($A \subset A$); f) sai.

Cho $A = \{a; b; c; d; e\}$. Tính số tập con của $A$ thoả mãn: a) tất cả; b) chứa $a$ nhưng không chứa $b$; c) chứa cả $a$ và $b$; d) có đúng hai phần tử; e) khác $\varnothing$.

Giải. a) $2^5 = 32$. b) Cố định $a$ có mặt, $b$ vắng mặt; còn $c, d, e$ tự do: $2^3 = 8$. c) Cố định $a$, $b$ có mặt; còn $c, d, e$ tự do: $2^3 = 8$. d) Chọn $2$ trong $5$ phần tử: $\binom52 = 10$. e) $32 - 1 = 31$.

Cho $A = \{1; m\}$, $B = \{1; 2; 3\}$. Tìm $m$ để $A \subset B$. Có $m$ nào để $A = B$ không?

Giải. $1 \in B$ rồi. Cần $m \in B$, tức $m \in \{1; 2; 3\}$.

• $m = 2$ hoặc $m = 3$: $A = \{1; 2\}$ hoặc $\{1; 3\}$, là tập con của $B$.
• $m = 1$: $A = \{1; 1\} = \{1\}$ chỉ có một phần tử, vẫn là tập con của $B$.

Vậy $A \subset B$ khi $m \in \{1; 2; 3\}$. Vì $A$ có nhiều nhất $2$ phần tử còn $B$ có $3$ phần tử nên không có $m$ nào để $A = B$.

Cho $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$ và $B = \{1; m\}$. Tìm $m$ để $A = B$.

Giải. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ nên $A = \{1; 2\}$. $B$ cũng phải là $\{1; 2\}$ nên $m = 2$. (Nếu $m = 1$ thì $B = \{1\} \ne A$.) Vậy $m = 2$.

Ví dụ phụ về chứng minh hai chiều: chứng minh $\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 4\} = \{-2; 2\}$. Nếu $x^2 = 4$ thì $x = 2$ hoặc $x = -2$ nên vế trái $\subset$ vế phải. Ngược lại $(\pm2)^2 = 4$ nên vế phải $\subset$ vế trái.

a) Có bao nhiêu tập con của $\{1; 2; \dots; 10\}$ không chứa hai số nguyên liên tiếp (kể cả $\varnothing$)? b) Trong đó có bao nhiêu tập con có đúng $4$ phần tử?

Giải. a) Dùng $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ với $a_1 = 2$, $a_2 = 3$:

Đáp số: $144$.

b) Số tập con $4$ phần tử không có hai số liên tiếp là $\binom{10 - 4 + 1}{4} = \binom74 = 35$. Giải thích: nếu $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$ không liên tiếp thì đặt $y_i = x_i - (i - 1)$, ta được $y_1 < y_2 < y_3 < y_4$ bất kì thuộc $\{1; \dots; 7\}$ (đã "ép" các khoảng trống), và phép biến đổi này là một-một.