Ứng dụng của phương trình chứa căn

$5\sqrt{x^2 + 9} = 15 + 3x$. Bình phương: $25x^2 + 225 = 9x^2 + 90x + 225$, nên $16x^2 - 90x = 0$, $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{45}{8} = 5{,}625$. Cả hai thuộc $[0; 8]$. Thử $x = 0$: $15 + 24 = 39$. Thử $x = 5{,}625$: $5 \cdot 6{,}375 + 3 \cdot 2{,}375 = 31{,}875 + 7{,}125 = 39$.

$26t = \sqrt{256t^2 - 240t + 225}$, bình phương: $420t^2 + 240t - 225 = 0$, hay $28t^2 + 16t - 15 = 0$, $\Delta = 1936 = 44^2$, $t = \dfrac{-16 \pm 44}{56}$: $t = \dfrac12$ nhận, $t = -\dfrac{15}{14}$ loại. Sau $0{,}5$ giờ, tại điểm cách cảng $8$ km.

$25t^2 - 48t + 36 = 15{,}21$, tức $25t^2 - 48t + 20{,}79 = 0$. Viết $(5t - 4{,}8)^2 = 15{,}21 - 12{,}96 = 2{,}25$, nên $5t - 4{,}8 = \pm 1{,}5$, $t = 0{,}66$ hoặc $t = 1{,}26$ giờ. Cả hai đều dương.

Bình phương làm mất dấu của vế $26t$: $(26t)^2 = (-26t)^2$. Nghiệm âm ứng với vế phải âm trong phương trình gốc, nên là nghiệm ngoại lai.