Ứng dụng của phương trình chứa căn

Một hòn đảo $A$ cách bờ biển thẳng một khoảng $3$ km; $P$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống bờ. Trạm điện $B$ nằm trên bờ, cách $P$ là $8$ km. Người ta kéo cáp từ $A$ ra điểm $Q$ trên bờ (cáp ngầm dưới nước, $5$ triệu đồng một km), rồi từ $Q$ dọc bờ tới $B$ (cáp trên bờ, $3$ triệu đồng một km). Đặt $PQ = x$ km, $0 \le x \le 8$. Tìm $x$ để tổng chi phí là $37$ triệu đồng.

Giải. Đoạn $AQ = \sqrt{x^2 + 9}$ (Pi-ta-go trong tam giác vuông $APQ$), đoạn $QB = 8 - x$. Chi phí:

Giải $C(x) = 37$: $5\sqrt{x^2 + 9} = 13 + 3x$. Vế phải $\ge 0$ trên $[0; 8]$ nên điều kiện toán học đã được bảo đảm. Bình phương: $25x^2 + 225 = 9x^2 + 78x + 169$, tức $16x^2 - 78x + 56 = 0$, hay $8x^2 - 39x + 28 = 0$. Có $\Delta = 1521 - 896 = 625$, nghiệm $x = \dfrac{39 \pm 25}{16}$, tức $x = 4$ hoặc $x = \dfrac78$.

Cả hai nằm trong $[0; 8]$. Thử: $x = 4$: $5 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 37$. $x = \dfrac78$: $\sqrt{\tfrac{49}{64} + 9} = \dfrac{25}{8}$, nên $5 \cdot \dfrac{25}{8} + 3 \cdot \dfrac{57}{8} = \dfrac{125 + 171}{8} = 37$.

Vậy có hai vị trí: $Q$ cách $P$ là $4$ km hoặc $0{,}875$ km. Nếu bờ chỉ cho phép đặt $Q$ cách $P$ không quá $3$ km thì chỉ còn $x = 0{,}875$.

Nhận xét: chi phí nhỏ nhất xảy ra ở khoảng $x = 2{,}25$ km, bằng $36$ triệu đồng. Mức $37$ triệu cao hơn mức nhỏ nhất, nên có hai vị trí ở hai phía của đáy; mức $35$ triệu thì vô nghiệm.

Từ cảng $O$, tàu $B$ chạy với vận tốc $14$ km/h theo hướng lập với đường nối $O$ tới trạm $A$ một góc $60^\circ$; $OA = 15$ km. Cùng lúc đó, canô xuất phát từ $A$ chạy thẳng tới đuổi theo tàu $B$ với vận tốc $26$ km/h. Sau bao lâu canô đuổi kịp?

Giải. Gọi $t$ (giờ, $t > 0$) là thời gian đến lúc gặp tại điểm $M$. Khi đó $OM = 14t$, $AM = 26t$. Định lí côsin trong tam giác $OAM$ với góc $60^\circ$ tại $O$:

Phương trình dạng căn: $26t = \sqrt{196t^2 - 210t + 225}$. Điều kiện $26t \ge 0$. Bình phương: $676t^2 = 196t^2 - 210t + 225$, tức $480t^2 + 210t - 225 = 0$, hay $32t^2 + 14t - 15 = 0$. Có $\Delta = 196 + 1920 = 2116 = 46^2$, nghiệm $t = \dfrac{-14 \pm 46}{64}$, tức $t = \dfrac12$ hoặc $t = -\dfrac{15}{16}$.

Nghiệm $t = -\dfrac{15}{16}$ âm, vi phạm cả điều kiện $26t \ge 0$ lẫn $t > 0$: loại. Với $t = \dfrac12$: $OM = 7$, $AM = 13$, và $225 + 49 - 105 = 169 = 13^2$. Vậy canô đuổi kịp sau $0{,}5$ giờ (30 phút), tại điểm cách cảng $7$ km.

Hai người cùng lúc rời khỏi vị trí: người thứ nhất xuất phát từ điểm $A$ cách giao lộ $O$ về phía bắc $6$ km, đi về phía nam với vận tốc $4$ km/h (đi tiếp qua cả giao lộ); người thứ hai xuất phát từ $O$, đi về phía đông với vận tốc $3$ km/h. Sau bao lâu thì hai người cách nhau đúng $6$ km lần nữa (không kể lúc xuất phát)?

Giải. Sau $t$ giờ, người thứ nhất ở toạ độ $(0;\, 6 - 4t)$, người thứ hai ở $(3t;\, 0)$. Khoảng cách

Giải $d = 6$: bình phương $25t^2 - 48t + 36 = 36$, tức $t(25t - 48) = 0$, nên $t = 0$ (lúc xuất phát, loại theo đề) hoặc $t = \dfrac{48}{25} = 1{,}92$. Vế phải $6 > 0$ nên không có nghiệm ngoại lai.

Vậy sau $1{,}92$ giờ (khoảng $1$ giờ $55$ phút) hai người lại cách nhau $6$ km. Hai người gần nhau nhất lúc $t = 0{,}96$ giờ, khi đó $d = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6$ km; nên không bao giờ hai người cách nhau dưới $3{,}6$ km.