Phương trình chứa hai căn, bình phương hai lần

Giải $\sqrt{x + 9} + \sqrt{x} = 9$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge 0$. Cô lập: $\sqrt{x + 9} = 9 - \sqrt{x}$, điều kiện $9 - \sqrt{x} \ge 0$, tức $x \le 81$. Bình phương: $x + 9 = 81 - 18\sqrt{x} + x$, nên $18\sqrt{x} = 72$, $\sqrt{x} = 4$, $x = 16$. Thoả $0 \le x \le 81$. Thử: $\sqrt{25} + \sqrt{16} = 9$. Vậy $S = \{16\}$.

Cách khác. $A - B = (x + 9) - x = 9$, nên $\sqrt{x + 9} - \sqrt{x} = \dfrac99 = 1$. Cộng với phương trình đầu: $2\sqrt{x + 9} = 10$, $\sqrt{x + 9} = 5$, $x = 16$.

Giải $\sqrt{x + 7} - \sqrt{x - 2} = 1$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge 2$. Chuyển: $\sqrt{x + 7} = 1 + \sqrt{x - 2}$ (vế phải luôn dương). Bình phương: $x + 7 = 1 + 2\sqrt{x - 2} + x - 2$, nên $8 = 2\sqrt{x - 2}$, $\sqrt{x - 2} = 4$, $x = 18$. Thử: $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 1$. Vậy $S = \{18\}$.

Giải $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1} = 4$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge -\dfrac13$. Cô lập: $\sqrt{3x + 1} = 4 - \sqrt{x + 3}$. Bình phương: $3x + 1 = 16 - 8\sqrt{x + 3} + x + 3$, nên $2x - 18 = -8\sqrt{x + 3}$, tức $x - 9 = -4\sqrt{x + 3}$.

Vế phải $\le 0$ nên cần $x - 9 \le 0$, tức $x \le 9$. Bình phương lần hai: $(x - 9)^2 = 16(x + 3)$, tức $x^2 - 18x + 81 = 16x + 48$, nên $x^2 - 34x + 33 = 0$, nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 33$.

Đối chiếu: $x = 33 > 9$ loại. $x = 1$ thoả $-\dfrac13 \le 1 \le 9$. Thử: $\sqrt4 + \sqrt4 = 4$. Vậy $S = \{1\}$.

Nếu quên điều kiện $x \le 9$ ta sẽ giữ nghiệm $33$: thay vào, $\sqrt{36} + \sqrt{100} = 16 \ne 4$.

Giải $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 1$.

Giải. ĐKXĐ: $x \ge 4$ và $x \le 2$, không có $x$ nào. Vậy $S = \varnothing$ mà không cần bình phương.

Giải $\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} = 3$.

Giải. ĐKXĐ: $-1 \le x \le 4$. Hai vế đều không âm nên bình phương được ngay: $(x + 1) + (4 - x) + 2\sqrt{(x + 1)(4 - x)} = 9$, tức $2\sqrt{(x + 1)(4 - x)} = 4$, hay $\sqrt{-x^2 + 3x + 4} = 2$. Bình phương: $-x^2 + 3x + 4 = 4$, nên $x(3 - x) = 0$, $x = 0$ hoặc $x = 3$. Cả hai thuộc $[-1; 4]$. Thử: $x = 0$: $1 + 2 = 3$. $x = 3$: $2 + 1 = 3$. Vậy $S = \{0; 3\}$.

Ở đây tổng hai biểu thức dưới căn là hằng ($5$), nên bình phương cả tổng làm căn còn lại có dạng tích; thế là chỉ cần bình phương hai lần, mỗi lần vế còn lại đều không âm nên không sinh nghiệm ngoại lai.