Ví dụ · Bậc ba, trùng phương, phương trình tích · Toán 10

Ví dụ 1 (bậc ba, ba nghiệm nguyên)

Giải $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Giải. Ứng viên $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Thử $x = 1$ : $1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , nghiệm. Hoóc-ne cho $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$ . Tam thức $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ . Vậy $S = \{-2; 1; 3\}$ .

Ví dụ 2 (hệ số cao nhất khác $1$ )

Giải $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$ .

Giải. Ứng viên $\pm1, \pm2, \pm\dfrac12$ . Thử $x = 1$ : $2 - 3 - 3 + 2 = -2 \ne 0$ . Thử $x = 2$ : $16 - 12 - 6 + 2 = 0$ , nghiệm. Hoóc-ne với $x_0 = 2$ : hàng dưới $2,\ 1,\ -1,\ 0$ , tức $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(2x^2 + x - 1)$ . Giải $2x^2 + x - 1 = 0$ : $\Delta = 9$ , $x = \dfrac12$ hoặc $x = -1$ . Vậy $S = \left\{-1; \dfrac12; 2\right\}$ .

Bước 1 / 5

Hệ số tự do

2

, hệ số cao nhất

2

:

p \in {\pm 1, \pm 2}, q \in {1, 2}

. Ứng viên:

\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}

, sáu số trên trục

O x

.

Ví dụ 3 (nhóm hạng tử, nghiệm vô tỉ)

Giải $x^3 + x^2 - 2x - 2 = 0$ .

Giải. Nhóm: $x^2(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 2) = 0$ . Vậy $x = -1$ hoặc $x^2 = 2$ . $S = \{-1; -\sqrt2; \sqrt2\}$ . (Các ứng viên hữu tỉ chỉ cho được nghiệm $-1$ ; hai nghiệm vô tỉ còn lại đến từ nhân tử bậc hai.)

Ví dụ 4 (một nghiệm thực)

Giải $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$ .

Giải. Thử $x = 1$ : $1 - 3 + 4 - 2 = 0$ . Chia: $(x - 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$ . Tam thức $x^2 - 2x + 2$ có $\Delta' = 1 - 2 = -1 < 0$ nên vô nghiệm. Vậy $S = \{1\}$ .

Ví dụ 5 (nghiệm kép)

Giải $x^3 - 3x + 2 = 0$ .

Giải. Thử $x = 1$ : $1 - 3 + 2 = 0$ . Hoóc-ne (hệ số $1,\ 0,\ -3,\ 2$ ): hàng dưới $1,\ 1,\ -2,\ 0$ , nên $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)^2(x + 2)$ . Vậy $S = \{-2; 1\}$ , trong đó $x = 1$ là nghiệm kép (đồ thị tiếp xúc trục $Ox$ tại $x = 1$ ).

Ví dụ 6 (trùng phương, bốn nghiệm)

Giải $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ .

Giải. Đặt $t = x^2 \ge 0$ : $t^2 - 10t + 9 = 0$ , $t = 1$ hoặc $t = 9$ , cả hai dương. $x = \pm1$ hoặc $x = \pm3$ . Vậy $S = \{-3; -1; 1; 3\}$ .

Ví dụ 7 (loại $t < 0$ )

Giải $x^4 + x^2 - 6 = 0$ .

Giải. Đặt $t = x^2 \ge 0$ : $t^2 + t - 6 = 0$ , $t = 2$ hoặc $t = -3$ . Loại $t = -3$ . Với $t = 2$ : $x = \pm\sqrt2$ . Vậy $S = \{-\sqrt2; \sqrt2\}$ .

Ví dụ 8 (các trường hợp đặc biệt của trùng phương)

a) $x^4 - 4x^2 = 0$ : đặt $t = x^2$ , $t(t - 4) = 0$ , $t = 0$ hoặc $t = 4$ ; $t = 0$ cho $x = 0$ , $t = 4$ cho $x = \pm2$ . $S = \{-2; 0; 2\}$ (ba nghiệm).

b) $x^4 - 4x^2 + 4 = 0$ : $(t - 2)^2 = 0$ , $t = 2$ (kép); $x = \pm\sqrt2$ . $S = \{-\sqrt2; \sqrt2\}$ .

c) $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$ : $t = -1$ hoặc $t = -2$ , cả hai âm. $S = \varnothing$ .

Ví dụ 9 (ẩn phụ là biểu thức)

Giải $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$ .

Giải. Đặt $t = x^2 + x$ : $t^2 - 8t + 12 = 0$ , $t = 2$ hoặc $t = 6$ .

$x^2 + x = 2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = -2$ .
$x^2 + x = 6 \iff x^2 + x - 6 = 0 \iff x = 2$ hoặc $x = -3$ .

Vậy $S = \{-3; -2; 1; 2\}$ . Cả hai giá trị $t$ đều $\ge -\dfrac14$ nên đều cho nghiệm.

Phương trình bậc ba, trùng phương và phương trình tích

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (bậc ba, ba nghiệm nguyên)

Ví dụ 2 (hệ số cao nhất khác $1$ )

Ví dụ 3 (nhóm hạng tử, nghiệm vô tỉ)

Ví dụ 4 (một nghiệm thực)

Ví dụ 5 (nghiệm kép)

Ví dụ 6 (trùng phương, bốn nghiệm)

Ví dụ 7 (loại $t < 0$ )

Ví dụ 8 (các trường hợp đặc biệt của trùng phương)

Ví dụ 9 (ẩn phụ là biểu thức)

Phương trình bậc ba, trùng phương và phương trình tích

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (bậc ba, ba nghiệm nguyên)

Ví dụ 2 (hệ số cao nhất khác 111)

Ví dụ 3 (nhóm hạng tử, nghiệm vô tỉ)

Ví dụ 4 (một nghiệm thực)

Ví dụ 5 (nghiệm kép)

Ví dụ 6 (trùng phương, bốn nghiệm)

Ví dụ 7 (loại t<0t < 0t<0)

Ví dụ 8 (các trường hợp đặc biệt của trùng phương)

Ví dụ 9 (ẩn phụ là biểu thức)

Ví dụ 2 (hệ số cao nhất khác $1$ )

Ví dụ 7 (loại $t < 0$ )