Phương trình bậc bốn đối xứng (hồi quy)

Chia $x^2$, $t = x + \dfrac1x$: $6(t^2 - 2) - 35t + 62 = 6t^2 - 35t + 50 = 0$, $\Delta = 25$, $t = \dfrac52$ hoặc $t = \dfrac{10}{3}$, cả hai $> 2$. $t = \dfrac52$: $2x^2 - 5x + 2 = 0$, $x = 2$ hoặc $\dfrac12$. $t = \dfrac{10}{3}$: $3x^2 - 10x + 3 = 0$, $x = 3$ hoặc $\dfrac13$. $S = \{\dfrac13; \dfrac12; 2; 3\}$.

$t^2 - 2 + 2t - 6 = t^2 + 2t - 8 = 0$, $t = 2$ hoặc $t = -4$. $t = 2$: $x = 1$. $t = -4$: $x^2 + 4x + 1 = 0$, $x = -2 \pm \sqrt3$. $S = \{-2 - \sqrt3;\ -2 + \sqrt3;\ 1\}$.

$t^2 - 2 + 2t - 1 = t^2 + 2t - 3 = 0$, $t = 1$ hoặc $t = -3$. Loại $t = 1$ ($\lvert 1 \rvert < 2$). $t = -3$: $x^2 + 3x + 1 = 0$, $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt5}{2}$. $S = \left\{\dfrac{-3 - \sqrt5}{2};\ \dfrac{-3 + \sqrt5}{2}\right\}$.

Hệ số đối nhau: $x^3(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x^3 - 1) = (x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$. Tam thức $x^2 + x + 1$ có $\Delta = -3 < 0$. $S = \{-1; 1\}$.

$x^2 - 1{,}5x + 1 = 0$ có $\Delta = 2{,}25 - 4 < 0$, không có nghiệm. Tổng quát $\lvert x + \dfrac1x \rvert \ge 2$ với mọi $x \ne 0$.