Phương trình quy về bậc hai có tham số, biện luận số nghiệm

Tìm $m$ để $\sqrt{x + 2} = x + m$ có đúng hai nghiệm phân biệt; sau đó biện luận số nghiệm.

Giải. Đặt $t = \sqrt{x + 2} \ge 0$, khi đó $x = t^2 - 2$ và phương trình thành $t = t^2 - 2 + m$, tức

Mỗi $t \ge 0$ cho đúng một $x$, nên số nghiệm $x$ bằng số nghiệm $t \ge 0$. Hai nghiệm $t \ge 0$ phân biệt khi: $\Delta = 1 - 4(m - 2) = 9 - 4m > 0$, tức $m < \dfrac94$; $P = m - 2 \ge 0$, tức $m \ge 2$; $S = 1 > 0$ luôn đúng. Vậy $m \in \left[2;\ \dfrac94\right)$.

Biện luận đầy đủ:

• $m > \dfrac94$: $\Delta < 0$, 0 nghiệm.
• $m = \dfrac94$: nghiệm kép $t = \dfrac12 > 0$, 1 nghiệm ($x = -\dfrac74$).
• $2 \le m < \dfrac94$: hai nghiệm $t \ge 0$ phân biệt, 2 nghiệm.
• $m < 2$: $P < 0$, một nghiệm $t > 0$ (nghiệm kia âm), 1 nghiệm.

Kiểm: $m = 2$: $t \in \{0; 1\}$, $x \in \{-2; -1\}$; thử $x = -1$: $\sqrt1 = 1 = -1 + 2$. $m = 0$: $t = 2$, $x = 2$; thử $\sqrt4 = 2$.

Biện luận theo $m$ số nghiệm của $x^4 - 4x^2 + m = 0$.

Giải. Đặt $t = x^2 \ge 0$: $t^2 - 4t + m = 0$ ($\Delta' = 4 - m$, $S = 4$, $P = m$).

Kiểm $m = 3$: $t = 1$ hoặc $t = 3$, $x \in \{\pm1;\ \pm\sqrt3\}$. Kiểm $m = -5$: $t = 5$ hoặc $t = -1$, chỉ $t = 5$ nhận, $x = \pm\sqrt5$.

Biện luận theo $m$ số nghiệm của $\lvert x^2 - 2x - 3 \rvert = m$.

Giải. Đặt $f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$, đỉnh $(1;\ -4)$. Đồ thị $y = \lvert f(x) \rvert$ giữ phần $f \ge 0$ (ngoài $[-1; 3]$) và lật phần $f < 0$ lên, tạo vòm cao $4$ tại $x = 1$. Số nghiệm là số giao điểm với đường ngang $y = m$:

• $m < 0$: 0 nghiệm.
• $m = 0$: 2 nghiệm ($x = -1,\ 3$).
• $0 < m < 4$: 4 nghiệm (đường ngang cắt cả vòm lật, hai điểm, và hai nhánh ngoài, hai điểm).
• $m = 4$: 3 nghiệm ($x = 1$ ở đỉnh vòm; $x = 1 \pm 2\sqrt2$ ở hai nhánh ngoài).
• $m > 4$: 2 nghiệm (chỉ hai nhánh ngoài).

Giải đại số cho cùng kết quả: $f(x) = m$ có hai nghiệm với $m > -4$; $f(x) = -m$ có hai nghiệm khi $m < 4$, một khi $m = 4$ ($x = 1$), không khi $m > 4$.

Cho $x^4 - 2x^3 + mx^2 - 2x + 1 = 0$. a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm. b) Biện luận số nghiệm.

Giải. $x = 0$ không là nghiệm. Chia $x^2$, đặt $t = x + \dfrac1x$ ($\lvert t \rvert \ge 2$): $t^2 - 2 - 2t + m = 0$, tức

a) Cần $t$ có $\lvert t \rvert \ge 2$ để $m = g(t)$. Parabol $g$ đỉnh ở $t = 1$ (nằm trong $(-2; 2)$). Trên $t \ge 2$: $g$ giảm từ $g(2) = 2$, nên nhận mọi giá trị $\le 2$. Trên $t \le -2$: $g$ tăng tới $g(-2) = -6$, nên nhận mọi giá trị $\le -6$. Hợp: $m \le 2$.

b) Đếm nghiệm $x$ từ bảng mục 1: $t = 1 \pm \sqrt{3 - m}$ với $m \le 3$.

• $m > 2$: không có $t$ hợp lệ, 0 nghiệm.
• $m = 2$: $t \in \{0;\ 2\}$; $t = 0$ bị loại, $t = 2$ cho $x = 1$: 1 nghiệm.
• $-6 < m < 2$: chỉ $t_1 = 1 + \sqrt{3 - m} > 2$ hợp lệ, cho 2 nghiệm (nghịch đảo của nhau).
• $m = -6$: $t_1 = 4$ (hai nghiệm), $t_2 = -2$ (một nghiệm $x = -1$): 3 nghiệm.
• $m < -6$: $t_1 > 2$ và $t_2 < -2$: 4 nghiệm.

Kiểm $m = -6$: $x = -1$: $1 + 2 - 6 + 2 + 1 = 0$. $t = 4$: $x^2 - 4x + 1 = 0$, $x = 2 \pm \sqrt3$.