Tam thức bậc hai, nghiệm và biệt thức

Biểu thức nào là tam thức bậc hai? $A = 2x^2 - 3x + 1$, $B = x(x - 4)$, $C = 5x - 2$, $D = (m - 1)x^2 + 2x + 3$ (với $m$ là tham số).

Giải.

• $A$ là tam thức bậc hai, $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
• $B = x^2 - 4x$ là tam thức bậc hai, $a = 1$, $b = -4$, $c = 0$.
• $C$ không phải (bậc nhất).
• $D$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m - 1 \ne 0$, tức $m \ne 1$. Khi $m = 1$ thì $D = 2x + 3$.

Tìm nghiệm của $f(x) = x^2 - 5x + 6$ và phân tích thành nhân tử.

Giải. $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. Hai nghiệm $x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$, tức $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$. Kiểm bằng Viète: $2 + 3 = 5 = -b/a$, $2 \cdot 3 = 6 = c/a$. Vậy $f(x) = (x - 2)(x - 3)$.

Cho $g(x) = 2x^2 - 4x + 2$. Tính nghiệm.

Giải. $b = -4$ chẵn nên $b' = -2$, $\Delta' = (-2)^2 - 2 \cdot 2 = 0$. Nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{b'}{a} = -\dfrac{-2}{2} = 1$. Vậy $g(x) = 2(x - 1)^2$.

Cho $h(x) = -3x^2 + 2x - 1$. Tính nghiệm.

Giải. $b = 2$, $b' = 1$, $\Delta' = 1^2 - (-3)(-1) = 1 - 3 = -2 < 0$. Tam thức vô nghiệm, đồ thị không cắt $Ox$. Vì $a = -3 < 0$ nên parabol quay xuống và nằm hẳn dưới $Ox$ (điều này sẽ được chứng minh ở bài sau).

Tìm nghiệm của $k(x) = 3x^2 - 8x + 4$.

Giải. $b' = -4$, $\Delta' = 16 - 12 = 4$, $\sqrt{\Delta'} = 2$. Nghiệm $x = \dfrac{4 \pm 2}{3}$, tức $x_1 = 2$ và $x_2 = \dfrac23$. Nếu viết thành nhân tử: $k(x) = 3(x - 2)\left(x - \dfrac23\right) = (x - 2)(3x - 2)$.

Viết $x^2 - 6x + 13$ dưới dạng $(x - p)^2 + q$ rồi cho biết nó có nghiệm không.

Giải. $x^2 - 6x + 13 = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4$. Vì $(x-3)^2 \ge 0$ nên biểu thức luôn $\ge 4 > 0$: vô nghiệm. Kiểm: $\Delta' = 9 - 13 = -4 < 0$. Cách bù bình phương cho thêm một thông tin: biểu thức nhỏ nhất bằng $4$ tại $x = 3$, chính là đỉnh parabol.