Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Xét dấu $f(x) = x^2 - 3x + 2$.

Giải. $a = 1 > 0$, $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$; nghiệm $x = 1$, $x = 2$.

Vậy $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$ và $f(x) < 0$ khi $x \in (1; 2)$. Kiểm: $f(0) = 2 > 0$, $f(1{,}5) = -0{,}25 < 0$, $f(3) = 2 > 0$.

Xét dấu $f(x) = -2x^2 + 5x - 2$.

Giải. $a = -2 < 0$, $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$; nghiệm $x = \dfrac{-5 \pm 3}{-4}$, tức $x = \dfrac12$ và $x = 2$.

Vậy $f(x) > 0$ khi $x \in \left(\dfrac12; 2\right)$ và $f(x) < 0$ khi $x \in \left(-\infty; \dfrac12\right) \cup (2; +\infty)$. Kiểm: $f(0) = -2 < 0$, $f(1) = 1 > 0$.

Xét dấu $f(x) = 4x^2 - 12x + 9$.

Giải. $\Delta' = 36 - 36 = 0$, nghiệm kép $x_0 = \dfrac32$, $a = 4 > 0$. Thật vậy $f(x) = (2x - 3)^2$. Vậy $f(x) > 0$ với mọi $x \ne \dfrac32$ và $f\left(\dfrac32\right) = 0$.

Xét dấu $f(x) = 2x^2 - x + 3$.

Giải. $\Delta = 1 - 24 = -23 < 0$, $a = 2 > 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Không cần tìm nghiệm.

Xét dấu $f(x) = -x^2 + 4x - 5$.

Giải. $\Delta' = 4 - 5 = -1 < 0$, $a = -1 < 0$ nên $f(x) < 0$ với mọi $x$. Bù bình phương cho cùng kết quả: $f(x) = -(x - 2)^2 - 1$.

Xét dấu $f(x) = 3x^2 - 8x + 4$ và cho biết dấu của $f(0{,}5)$ mà không tính.

Giải. Nghiệm $x = \dfrac23$ và $x = 2$ (bài 1), $a = 3 > 0$. Dấu: $+$ khi $x < \dfrac23$, $-$ khi $\dfrac23 < x < 2$, $+$ khi $x > 2$. Vì $0{,}5 < \dfrac23$ nên $f(0{,}5) > 0$. Tính thử: $3 \cdot 0{,}25 - 4 + 4 = 0{,}75 > 0$.