Xác định điểm và tập hợp điểm thoả hệ thức vectơ

Cho đoạn $AB$. Xác định các điểm $I$, $J$ thoả: a) $\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} = \vec 0$; b) $2\overrightarrow{JA} + 3\overrightarrow{JB} = \vec 0$.

Giải. a) $\alpha = 1$, $\beta = -3$: $\overrightarrow{AI} = \dfrac{-3}{-2}\overrightarrow{AB} = \dfrac32\overrightarrow{AB}$. Điểm $I$ nằm trên tia $AB$, ngoài đoạn $AB$, với $BI = \dfrac12 AB$.

b) $\overrightarrow{AJ} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}$: $J$ nằm trong đoạn $AB$, chia đoạn này thành hai phần $AJ : JB = 3 : 2$. $J$ gần $B$ hơn vì hệ số của $B$ lớn hơn.

Cho tam giác $ABC$. Xác định điểm $M$ thoả $2\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec 0$.

Giải. Hai hệ số đầu đối nhau, nên gộp được ngay: $2\left(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\right) = 2\overrightarrow{BA}$. Hệ thức thành $2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{MC} = \vec 0$, tức

Gọi $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$, khi đó $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{CM} = 2\overrightarrow{CD}$: $M$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$.

Tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Xác định điểm $N$ thoả $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = 2\overrightarrow{BC}$.

Giải. Vế trái bằng $3\overrightarrow{NG}$, nên $\overrightarrow{NG} = \dfrac23\overrightarrow{BC}$, tức

$N$ là điểm nằm trên đường thẳng qua $G$ song song với $BC$, về phía từ $C$ sang $B$, cách $G$ một khoảng $\dfrac23 BC$.

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh vectơ $\vec w = 2\overrightarrow{MA} - 5\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}$ không phụ thuộc vị trí $M$.

Giải. Tổng hệ số $2 - 5 + 3 = 0$. Tách $-5\overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MB}$:

không chứa $M$.

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thoả $\left\lvert\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right\rvert = \left\lvert\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\right\rvert$.

Giải. Vế trái $= 3MG$ ($G$ là trọng tâm). Vế phải $= \left\lvert\overrightarrow{CB}\right\rvert = BC$. Vậy $MG = \dfrac{BC}{3}$: tập hợp là đường tròn tâm $G$, bán kính $\dfrac{BC}{3}$.

Cho đoạn $AB$. Tìm tập hợp điểm $M$ thoả $\left\lvert 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right\rvert = \left\lvert\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\right\rvert$.

Giải. Lấy $I$ với $2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$ ($\overrightarrow{AI} = \dfrac13\overrightarrow{AB}$) và $J$ với $\overrightarrow{JA} + 2\overrightarrow{JB} = \vec 0$ ($\overrightarrow{AJ} = \dfrac23\overrightarrow{AB}$). Hệ thức thành $3MI = 3MJ$, tức $MI = MJ$. Tập hợp là đường trung trực của $IJ$. Vì $I$, $J$ đối xứng nhau qua trung điểm của $AB$, đó cũng chính là đường trung trực của $AB$.