TOÁN 10
LÝ THUYẾT - SÁCH HÌNH ĐỘNG
LỚP 10·10 / 2026

VT · 0540 phút

Tích vô hướng của hai vectơ

Hai vectơ cho ra một số

01Phương pháp giải theo dạng

Dạng: Tính tích vô hướng theo định nghĩa; tính góc; độ dài của tổng, hiệu

  1. Đưa hai vectơ về chung gốc (dùng vectơ bằng nhau hoặc vectơ đối) để đọc đúng góc.
  2. Áp dụng a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡(a⃗,b⃗)\vec a\cdot\vec b = \lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert\cos(\vec a, \vec b).
  3. Tính góc: cos⁡=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos = \dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\,\lvert\vec b\rvert}.
  4. Độ dài tổng/hiệu: bình phương, ∣a⃗±b⃗∣2=∣a⃗∣2±2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2\lvert\vec a \pm \vec b\rvert^2 = \lvert\vec a\rvert^2 \pm 2\vec a\cdot\vec b + \lvert\vec b\rvert^2.

Dạng: Tính tích vô hướng trong hình bằng phân tích vectơ

  1. Chọn hai vectơ cơ sở chung gốc, đã biết độ dài và góc (ví dụ AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}); tính sẵn AB→2\overrightarrow{AB}^2, AC→2\overrightarrow{AC}^2, AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
  2. Phân tích mọi vectơ trong đề theo hai vectơ cơ sở (bài Tích của vectơ với một số).
  3. Nhân phân phối như nhân đa thức, thay các giá trị đã tính.

Dạng: Công của lực

  1. Xác định góc giữa lực và hướng dịch chuyển (không phải góc với phương thẳng đứng nếu đề không nói vậy).
  2. A=F⋅d⋅cos⁡αA = F\cdot d\cdot\cos\alpha. Góc tù cho công âm (lực cản), góc vuông cho công bằng 0.
  3. Phần hợp lực xem bài Tổng và hiệu của hai vectơ.

Dạng: Hai vectơ cùng phương, vuông góc theo toạ độ

  1. Vuông góc: lập x1x2+y1y2=0x_1x_2 + y_1y_2 = 0. Cùng phương: lập x1y2−x2y1=0x_1y_2 - x_2y_1 = 0.
  2. Giải phương trình theo tham số.
  3. Tam giác vuông tại AA: kiểm AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0. Ba điểm thẳng hàng: kiểm AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} cùng phương.

02Lỗi hay gặp

LỗiVì sao saiCách tránh
Lấy góc BB làm góc giữa AB→\overrightarrow{AB} và BC→\overrightarrow{BC}Hai vectơ chưa chung gốcĐổi AB→=−BA→\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} trước
Quên dấu âm khi góc tùcos⁡\cos góc tù âmKiểm tra dấu: góc tù cho tích âm
∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2\lvert\vec a + \vec b\rvert^2 = \lvert\vec a\rvert^2 + \lvert\vec b\rvert^2Thiếu 2a⃗⋅b⃗2\vec a\cdot\vec bKhai triển như hằng đẳng thức
Viết BC→=AB→−AC→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}Sai chiềuBC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
Dùng sin⁡\sin thay cos⁡\cos khi tính côngNhầm thành phần lựcCông dùng thành phần dọc đường đi: cos⁡\cos
Lẫn điều kiện vuông góc và cùng phương theo toạ độHai công thức giống nhauVuông góc: nhân cùng chỉ số; cùng phương: nhân chéo
Tiếp theoVí dụ →