Ví dụ · Tích vô hướng của hai vectơ · Toán 10

Ví dụ 1 (đọc đúng góc)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AB = AC = 3$ . Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ .

Giải. $BC = 3\sqrt2$ , $B = 45^\circ$ .

$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$ .
$\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ chung gốc $B$ , góc $45^\circ$ : $3\cdot 3\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 9$ .
$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ , nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = -9$ . (Hoặc: góc giữa chúng là $135^\circ$ .)

Ví dụ 2 (tìm góc từ độ dài)

Hai vectơ có $\lvert\vec a\rvert = 3$ , $\lvert\vec b\rvert = 4$ , $\lvert\vec a + \vec b\rvert = \sqrt{13}$ . Tính $\vec a\cdot\vec b$ , góc $(\vec a, \vec b)$ và $\lvert\vec a - \vec b\rvert$ .

Giải. $13 = 9 + 2\vec a\cdot\vec b + 16$ , nên $\vec a\cdot\vec b = -6$ . $\cos(\vec a, \vec b) = \dfrac{-6}{12} = -\dfrac12$ , góc bằng $120^\circ$ . Cuối cùng $\lvert\vec a - \vec b\rvert^2 = 9 + 12 + 16 = 37$ , $\lvert\vec a - \vec b\rvert = \sqrt{37}$ .

Ví dụ 3 (phân tích trong hình)

Tam giác $ABC$ có $AB = 4$ , $AC = 6$ , $A = 60^\circ$ ; $M$ là trung điểm $BC$ , $G$ là trọng tâm. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}$ , độ dài $BC$ và $AM$ .

Giải. Đặt $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AC}$ : $\vec u^2 = 16$ , $\vec v^2 = 36$ , $\vec u\cdot\vec v = 4\cdot 6\cdot\dfrac12 = 12$ .

$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac12(\vec u + \vec v)\cdot(\vec v - \vec u) = \dfrac12(\vec v^2 - \vec u^2) = \dfrac12(36 - 16) = 10$ .
$\overrightarrow{AG} = \dfrac23\overrightarrow{AM}$ , nên $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC} = \dfrac23\cdot 10 = \dfrac{20}{3}$ .
$BC^2 = (\vec v - \vec u)^2 = 36 - 24 + 16 = 28$ , $BC = 2\sqrt7$ .
$AM^2 = \dfrac14(\vec u + \vec v)^2 = \dfrac14(16 + 24 + 36) = 19$ , $AM = \sqrt{19}$ .

Nhận xét: $BC^2 = 28$ trùng với kết quả của định lí côsin; ta vừa chứng minh lại định lí đó bằng vectơ.

Bước 1 / 6

Đặt

u = A B, v = A C

:

u^{2} = 16, v^{2} = 36, u \cdot v = 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 12

.

Ví dụ 4 (toạ độ)

a) Chứng minh $\vec a = (3; -1)$ và $\vec b = (2; 6)$ vuông góc.

b) Tính góc giữa $\vec u = (1; 2)$ và $\vec v = (3; 1)$ .

c) Cho $\vec p = (m; 1)$ , $\vec q = (5; -2)$ . Tìm $m$ để $\vec p \perp \vec q$ ; để $\vec p$ , $\vec q$ cùng phương.

d) Cho $A(1; 1)$ , $B(4; 3)$ , $C(-1; 4)$ . Chứng minh tam giác $ABC$ vuông cân.

Giải. a) $3\cdot 2 + (-1)\cdot 6 = 0$ .

b) $\cos = \dfrac{3 + 2}{\sqrt5\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{5}{5\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , góc bằng $45^\circ$ .

c) Vuông góc: $5m - 2 = 0$ , $m = \dfrac25$ . Cùng phương: $m\cdot(-2) - 5\cdot 1 = 0$ , $m = -\dfrac52$ .

d) $\overrightarrow{AB} = (3; 2)$ , $\overrightarrow{AC} = (-2; 3)$ . Tích vô hướng $-6 + 6 = 0$ nên vuông tại $A$ ; lại có $AB = AC = \sqrt{13}$ nên vuông cân tại $A$ .

Ví dụ 5 (công của lực)

Một người kéo thùng hàng bằng lực $50$ N, dây kéo hợp với mặt đường góc $60^\circ$ , thùng dịch chuyển $12$ m trên mặt đường. Tính công của lực kéo.

Giải. $A = 50\cdot 12\cdot\cos 60^\circ = 300$ J.

Tích vô hướng của hai vectơ

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (đọc đúng góc)

Ví dụ 2 (tìm góc từ độ dài)

Ví dụ 3 (phân tích trong hình)

Ví dụ 4 (toạ độ)

Ví dụ 5 (công của lực)