Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm

Biểu diễn miền nghiệm của hệ $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 4$, $y - x \le 2$ và tìm các đỉnh.

Giải. Bốn bờ: $(d_1)\ x = 0$, $(d_2)\ y = 0$, $(d_3)\ x + y = 4$, $(d_4)\ y - x = 2$. Với $x \ge 0$ và $y \ge 0$ ta biết ngay: bên phải trục $Oy$, phía trên trục $Ox$. Với $d_3$ và $d_4$, thử $O$: $0 + 0 \le 4$ và $0 - 0 \le 2$ đều đúng, nên lấy phía chứa $O$ (phía dưới mỗi đường).

Có $C_4^2 = 6$ cặp bờ:

Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0;\,0)$, $A(4;\,0)$, $B(1;\,3)$, $C(0;\,2)$. Giao $d_3 \cap d_4$: cộng hai phương trình $x + y = 4$ và $-x + y = 2$ được $2y = 6$, $y = 3$, $x = 1$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ $2x - y \ge 0$, $x + y \le 6$, $y \ge 0$.

Giải. Bờ $2x - y = 0$ qua gốc nên thử $(1;\,0)$: $2 \ge 0$ đúng: lấy phía dưới-phải. Hai bờ còn lại: $x + y = 6$ (thử $O$: đúng, phía dưới-trái) và $y = 0$ (phía trên).

Ba bờ nên có $3$ cặp:

Miền là tam giác $O(0;\,0)$, $M(6;\,0)$, $N(2;\,4)$. Diện tích: đáy $OM = 6$, chiều cao (từ $N$ xuống $Ox$) bằng $4$, nên $S = \dfrac{6\cdot 4}{2} = 12$.

Biểu diễn miền nghiệm của $3x + y \ge 9$, $x + 2y \ge 8$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ và tìm đỉnh.

Giải. Thử $O$: $0 \ge 9$ và $0 \ge 8$ đều sai, nên hai bất phương trình đầu lấy phía xa gốc; hai bất phương trình sau là góc phần tư thứ nhất. Miền nghiệm kéo dài mãi lên phía trên-phải: không bị chặn.

Đỉnh: $(x = 0) \cap (3x + y = 9) = (0;\,9)$, thoả $0 + 18 \ge 8$. $(y = 0) \cap (x + 2y = 8) = (8;\,0)$, thoả $24 \ge 9$. $(3x + y = 9) \cap (x + 2y = 8)$: từ $y = 9 - 3x$ thay vào được $x + 18 - 6x = 8$, $x = 2$, $y = 3$. Còn lại: $(x = 0) \cap (x + 2y = 8) = (0;\,4)$ không thoả $3\cdot 0 + 4 \ge 9$; $(y = 0) \cap (3x + y = 9) = (3;\,0)$ không thoả $3 + 0 \ge 8$; $(x = 0) \cap (y = 0) = O$ không thoả. Ba đỉnh: $(0;\,9)$, $(2;\,3)$, $(8;\,0)$.

Biểu diễn miền nghiệm của $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \le 4$, $y \le 3$, $x + y \le 6$. Tìm đỉnh và diện tích.

Giải. Bốn bất phương trình đầu cho hình chữ nhật $[0;\,4]\times[0;\,3]$ với góc $(4;\,3)$; nhưng $4 + 3 = 7 > 6$, nên $(4;\,3)$ bị cắt bỏ bởi $x + y \le 6$. Các đỉnh: $(0;\,0)$, $(4;\,0)$, $(4;\,2)$ (vì $x = 4$, $y = 6 - 4$), $(3;\,3)$ (vì $y = 3$, $x = 6 - 3$), $(0;\,3)$.

Diện tích: hình chữ nhật $4\cdot 3 = 12$ trừ tam giác vuông cân bị cắt (các đỉnh $(4;\,2)$, $(4;\,3)$, $(3;\,3)$, hai cạnh góc vuông bằng $1$) diện tích $\tfrac12$: $S = 12 - \tfrac12 = 11{,}5$. Kiểm bằng công thức toạ độ: các đỉnh theo thứ tự $(0;0), (4;0), (4;2), (3;3), (0;3)$ cho tổng $0 + 8 + 6 + 9 + 0 = 23$, nên $S = \tfrac{23}{2} = 11{,}5$.

Mỗi hệ sau có nghiệm không? Nếu có, miền nghiệm là gì?

(a) $x + y \le 1$ và $x + y \ge 3$. (b) $x + y \le 2$ và $x + y \ge 2$. (c) $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 0$.

Giải. (a) Hai bờ $x + y = 1$ và $x + y = 3$ song song. Mọi nghiệm của bất phương trình thứ nhất có $x + y \le 1$ nên không thể $\ge 3$: vô nghiệm, miền rỗng.

(b) Cần $x + y = 2$ đồng thời (vừa $\le 2$ vừa $\ge 2$): miền nghiệm là cả đường thẳng $x + y = 2$ (không bị chặn).

(c) $x \ge 0$, $y \ge 0$ nên $x + y \ge 0$; kết hợp $x + y \le 0$ cho $x + y = 0$, do đó $x = y = 0$. Miền nghiệm là một điểm $O(0;\,0)$.