Khái niệm hàm số

Cho $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Tính $f(0)$, $f(-2)$, $f\!\left(\tfrac12\right)$.

Giải.

• $f(0) = 1$.
• $f(-2) = 2\cdot(-2)^2 - 3\cdot(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$.
• $f\!\left(\tfrac12\right) = 2\cdot\tfrac14 - \tfrac32 + 1 = \tfrac12 - \tfrac32 + 1 = 0$.

Cho $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$. Tính $f(3)$ và $f(-1)$. Hàm số có giá trị tại $x = 2$ không?

Giải. $f(3) = \dfrac{4}{1} = 4$; $f(-1) = \dfrac{0}{-3} = 0$. Tại $x = 2$ mẫu bằng $0$ nên không có giá trị: $2 \notin D$.

Cho

Tính $g(-1)$, $g(2)$, $g(3)$.

Giải.

• $-1 < 2$ nên dùng $3x - 1$: $g(-1) = -4$.
• $x = 2$ thoả $x \ge 2$ nên dùng $x^2 - 3$: $g(2) = 4 - 3 = 1$. (Nếu lỡ dùng $3x - 1$ sẽ ra $5$, sai.)
• $g(3) = 9 - 3 = 6$.

Hàm số $h$ cho bởi bảng

Tính $h(0) + h(4) - h(-2)$. Bảng này có tập xác định nào, và có sao khi $h(1) = h(4)$?

Giải. $h(0) + h(4) - h(-2) = -1 + 2 - 5 = -4$. Tập xác định là $\{-2; 0; 1; 4\}$. Việc $h(1) = h(4) = 2$ không làm bảng hết là hàm số: hai đầu vào khác nhau được phép có cùng đầu ra; điều bị cấm là một đầu vào có hai đầu ra.

Cho

a) Tính $f(f(0))$. b) Tìm $x$ để $f(x) = 5$.

Giải. a) $f(0) = 0^2 + 1 = 1$. Vì $1 \le 1$ nên $f(1) = 1^2 + 1 = 2$. Vậy $f(f(0)) = 2$.

b) Xét từng nhánh.

• Nhánh $x \le 1$: $x^2 + 1 = 5 \Rightarrow x = \pm 2$; chỉ $x = -2$ thoả $x \le 1$.
• Nhánh $x > 1$: $2x = 5 \Rightarrow x = \tfrac52$, thoả $x > 1$.

Vậy $x \in \left\{-2;\ \tfrac52\right\}$.

Một hãng taxi tính cước: km đầu tiên $12\,000$ đồng; từ km thứ $2$ đến km thứ $20$ mỗi km $10\,000$ đồng; từ km thứ $21$ trở đi mỗi km $8\,000$ đồng. a) Viết hàm số tiền cước $y$ (đồng) theo quãng đường $x$ (km, $x \ge 1$, $x$ nguyên). b) Đi $25$ km phải trả bao nhiêu? c) Một khách trả $132\,000$ đồng, đi bao nhiêu km?

Giải. a) Với $1 \le x \le 20$: $y = 12\,000 + 10\,000(x - 1)$. Với $x \ge 21$: $y = 12\,000 + 19\cdot 10\,000 + 8\,000(x - 20) = 202\,000 + 8\,000(x - 20)$.

b) $x = 25$: $y = 12\,000 + 19\cdot10\,000 + 5\cdot 8\,000 = 12\,000 + 190\,000 + 40\,000 = 242\,000$ đồng.

c) Cước tại $x = 20$ là $202\,000 > 132\,000$, nên khách đi trong bậc hai: $12\,000 + 10\,000(x - 1) = 132\,000 \Rightarrow x - 1 = 12 \Rightarrow x = 13$ km.

Giá nước sinh hoạt: $8\,000$ đồng/$\text{m}^3$ cho $10\,\text{m}^3$ đầu, $10\,000$ đồng/$\text{m}^3$ cho phần từ trên $10$ đến $20\,\text{m}^3$, $15\,000$ đồng/$\text{m}^3$ cho phần trên $20\,\text{m}^3$. Một hộ dùng $27\,\text{m}^3$ phải trả bao nhiêu? Một hộ khác trả $150\,000$ đồng thì dùng bao nhiêu $\text{m}^3$?

Giải. $27\,\text{m}^3$: $10\cdot 8\,000 + 10\cdot 10\,000 + 7\cdot 15\,000 = 80\,000 + 100\,000 + 105\,000 = 285\,000$ đồng.

Mốc: dùng $10\,\text{m}^3$ hết $80\,000$; dùng $20\,\text{m}^3$ hết $180\,000$. Vì $80\,000 < 150\,000 < 180\,000$, hộ kia ở bậc hai: $80\,000 + 10\,000(x - 10) = 150\,000 \Rightarrow x = 17\ \text{m}^3$.