Bảng biến thiên và đọc đồ thị

Lập bảng biến thiên của $y=-x^2+2x+3$ và nêu khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải. $a=-1<0$, $x_I=1$, $y_I=4$.

Hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$, nghịch biến trên $(1;+\infty)$, đạt giá trị lớn nhất $4$ tại $x=1$, tập giá trị $(-\infty;4]$.

Xét $y=2x^2-8x+5$.

Giải. $x_I=2$, $y_I=-3$, $a=2>0$. Nghịch biến trên $(-\infty;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty)$, giá trị nhỏ nhất $-3$ tại $x=2$, tập giá trị $[-3;+\infty)$. Hàm không có giá trị lớn nhất.

Cho $f(x)=x^2-4x+1$. Không tính, hãy so sánh $f(0)$ và $f(3{,}5)$; sau đó kiểm tra lại bằng cách tính.

Giải. Trục $x=2$, $a>0$. $\lvert0-2\rvert=2>\lvert3{,}5-2\rvert=1{,}5$, nên $f(0)>f(3{,}5)$. Kiểm tra: $f(0)=1$, $f(3{,}5)=12{,}25-14+1=-0{,}75$. Đúng.

Parabol $y=ax^2+bx+c$ có bề lõm hướng xuống, đỉnh nằm bên phải $Oy$, cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương và cắt $Ox$ tại hai điểm. Xác định dấu $a$, $b$, $c$, $\Delta$.

Giải. Bề lõm xuống: $a<0$. Đỉnh bên phải: $-\dfrac b{2a}>0$, mà $a<0$ nên $b>0$. Cắt $Oy$ ở trên: $c>0$. Hai giao điểm với $Ox$: $\Delta>0$. (Ví dụ cụ thể: $y=-x^2+2x+3$ có $a=-1$, $b=2$, $c=3$, $\Delta=16$.)

Parabol bề lõm lên, đỉnh bên trái $Oy$, cắt $Oy$ ở dưới gốc. Xác định dấu $a$, $b$, $c$.

Giải. $a>0$. Đỉnh bên trái: $-\dfrac b{2a}<0$, $a>0$ nên $b>0$. $c<0$. (Ví dụ: $y=x^2+2x-3$: $a=1$, $b=2$, $c=-3$; đỉnh $(-1;-4)$.) Vì $a>0$ và $c<0$ nên $ac<0$, $\Delta=b^2-4ac>0$: chắc chắn cắt $Ox$ hai điểm.

Tìm $m$ để hàm số $y=x^2-2(m-1)x+3$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;2)$.

Giải. $a=1>0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty;x_I)$ với $x_I=m-1$. Để nghịch biến trên $(-\infty;2)$ thì $(-\infty;2)\subset(-\infty;m-1)$, tức $m-1\ge2$, vậy $m\ge3$.