Ứng dụng thực tế của hàm số bậc hai

Một cổng hình parabol rộng $8$ m, cao $6$ m. Tính chiều cao của cổng tại điểm cách một chân cổng $1$ m, và bề rộng cổng tại độ cao $4{,}5$ m.

Giải. Đặt gốc tại chân trái, trục $Ox$ dọc mặt đất, $Oy$ thẳng đứng. Parabol đi qua $(0;0)$, $(8;0)$, đỉnh $(4;6)$ nên $y=ax(x-8)$ và $6=a\cdot4\cdot(-4)$, $a=-\dfrac38$: $y=-\dfrac38x(x-8)$.

• Cách chân $1$ m: $x=1$ (hoặc $x=7$ do đối xứng): $y=-\dfrac38\cdot1\cdot(-7)=\dfrac{21}8=2{,}625$ m.
• Độ cao $4{,}5$ m: $-\dfrac38x(x-8)=4{,}5\iff x^2-8x+12=0\iff x=2$ hoặc $x=6$. Bề rộng $6-2=4$ m.

Dây cáp của một cây cầu treo có dạng parabol, hai trụ cao $30$ m (tính từ mặt cầu) cách nhau $200$ m, điểm thấp nhất của dây cách mặt cầu $5$ m và nằm chính giữa. Tính chiều cao của dây cáp tại điểm cách trụ $50$ m (chiều cao tính từ mặt cầu).

Giải. Đặt gốc tại điểm thấp nhất của dây, $Oy$ hướng lên: $y=ax^2$. Đỉnh nằm ở độ cao $5$ m so với mặt cầu. Tại trụ, $x=\pm100$, dây cao hơn đỉnh $30-5=25$ m: $25=a\cdot10000$, $a=\dfrac1{400}$. Điểm cách trụ $50$ m có $x=50$: $y=\dfrac{2500}{400}=6{,}25$ m so với đỉnh, tức cao $5+6{,}25=11{,}25$ m so với mặt cầu.

Một vật ném lên từ nóc toà nhà, độ cao (mét) sau $t$ giây là $h(t)=-5t^2+10t+15$. Sau bao lâu vật đạt độ cao lớn nhất? Độ cao đó là bao nhiêu? Sau bao lâu vật chạm đất?

Giải. $a=-5<0$, $t_I=-\dfrac{10}{-10}=1$ s, $h(1)=-5+10+15=20$ m. Chạm đất: $h(t)=0\iff t^2-2t-3=0\iff t=3$ (loại $t=-1<0$). Đáp số: cao nhất $20$ m sau $1$ s; chạm đất sau $3$ s.

Một công ty cho thuê $40$ căn hộ. Giá thuê $10$ triệu đồng mỗi căn mỗi tháng thì cho thuê hết; cứ tăng giá $1$ triệu đồng thì có $2$ căn bị bỏ trống. Hỏi giá thuê bao nhiêu thì doanh thu lớn nhất?

Giải. Gọi $k\ (k\ge0)$ là số triệu đồng tăng thêm. Giá thuê $10+k$ (triệu), số căn thuê được $40-2k$ (cần $k\le20$). Doanh thu $R(k)=(10+k)(40-2k)=-2k^2+20k+400.$ $k_I=\dfrac{-20}{-4}=5\in[0;20]$, $R(5)=-50+100+400=450$. Vậy giá thuê $15$ triệu đồng/căn (cho thuê $30$ căn), doanh thu lớn nhất $450$ triệu đồng mỗi tháng.

Một người có $100$ m lưới, muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật dựa vào bức tường thẳng (không cần rào cạnh tựa tường). Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Giải. Gọi $x$ (m) là chiều dài mỗi cạnh vuông góc với tường; cạnh song song tường dài $100-2x$, điều kiện $0<x<50$. $S=x(100-2x)=-2x^2+100x$, $x_I=25\in(0;50)$, $S(25)=1250$. Kích thước $25$ m $\times$ $50$ m (cạnh dài song song tường), diện tích lớn nhất $1\ 250\ \text{m}^2$.

Một cửa hàng bán mỗi ngày $200$ sản phẩm với giá $50$ nghìn đồng, giá vốn $20$ nghìn đồng. Cứ giảm giá $1$ nghìn đồng thì bán thêm $10$ sản phẩm mỗi ngày. Giá bán bao nhiêu thì lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất?

Giải. Gọi $x\ (0\le x<30)$ là số nghìn đồng giảm. Giá bán $50-x$, lãi mỗi sản phẩm $30-x$, số bán $200+10x$. Lợi nhuận $P(x)=(30-x)(200+10x)=-10x^2+100x+6000.$ $x_I=5$, $P(5)=-250+500+6000=6250$. Giá bán $45$ nghìn đồng, bán $250$ sản phẩm, lợi nhuận lớn nhất $6\ 250$ nghìn đồng mỗi ngày.