Ví dụ · Tham số và đồ thị chứa trị tuyệt đối · Toán 10

Ví dụ 1 (đỉnh thuộc đường thẳng)

Parabol $y=x^2-2mx+m+2$ . Tìm $m$ để đỉnh nằm trên đường thẳng $y=2x$ .

Giải. $x_I=m$ , $y_I=m^2-2m^2+m+2=-m^2+m+2$ . Đỉnh $I(m;-m^2+m+2)$ thuộc $y=2x$ khi $-m^2+m+2=2m\iff m^2+m-2=0\iff m=1$ hoặc $m=-2$ .

Ví dụ 2 (đỉnh nằm trên trục hoành)

Cùng parabol: tìm $m$ để đỉnh nằm trên $Ox$ .

Giải. $y_I=0\iff-m^2+m+2=0\iff m^2-m-2=0\iff m=2$ hoặc $m=-1$ . (Cũng là $\Delta=4m^2-4(m+2)=0$ .)

Ví dụ 3 (tập hợp các đỉnh)

Tìm tập hợp đỉnh của parabol $y=x^2-2(m+1)x+m^2$ khi $m$ thay đổi.

Giải. $x_I=m+1$ , $y_I=(m+1)^2-2(m+1)^2+m^2=m^2-(m+1)^2=-2m-1$ . Từ $x=m+1$ suy ra $m=x-1$ , nên $y=-2(x-1)-1=-2x+1$ . Các đỉnh chạy trên đường thẳng $y=-2x+1$ .

Ví dụ 4 (nghiệm với $\lvert f(x)\rvert$ , 4 nghiệm)

Tìm $m$ để phương trình $\lvert x^2-4x+3\rvert=m$ có đúng $4$ nghiệm phân biệt.

Giải. $f(x)=x^2-4x+3$ có đỉnh $(2;-1)$ , giao $Ox$ tại $x=1,3$ . Đồ thị $y=\lvert f(x)\rvert$ : phần giữa $x=1$ và $x=3$ bị lật lên, đỉnh mới $(2;1)$ . Đếm giao điểm với $y=m$ :

$m$	$m<0$	$m=0$	$0<m<1$	$m=1$	$m>1$
Số nghiệm	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Đúng $4$ nghiệm khi $0<m<1$ .

Bước 1 / 5

Vẽ

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

: đỉnh

(2; - 1)

, cắt

O x

tại

x = 1

và

x = 3

.

Ví dụ 5 (nghiệm với $f(\lvert x\rvert)$ )

Biện luận số nghiệm của $x^2-4\lvert x\rvert+3=m$ .

Giải. $g(x)=f(\lvert x\rvert)$ với $f=x^2-4x+3$ : phần $x\ge0$ có đỉnh $(2;-1)$ và cắt $Oy$ tại $(0;3)$ ; lấy đối xứng qua $Oy$ được hai đỉnh $(\pm2;-1)$ và điểm $(0;3)$ là cực đại cục bộ.

$m$	$m<-1$	$m=-1$	$-1<m<3$	$m=3$	$m>3$
Số nghiệm	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Kiểm tra $m=3$ : $\lvert x\rvert(\lvert x\rvert-4)=0$ , nghiệm $x=0,\pm4$ : ba nghiệm.

Ví dụ 6 (đúng hai nghiệm)

Tìm $m$ để $\lvert x^2-2x-3\rvert=m$ có đúng $2$ nghiệm.

Giải. $f=x^2-2x-3$ , đỉnh $(1;-4)$ , giao $Ox$ tại $-1$ và $3$ . Đồ thị $\lvert f\rvert$ : đỉnh mới $(1;4)$ .

$m$	$m<0$	$m=0$	$0<m<4$	$m=4$	$m>4$
Số nghiệm	$0$	$2$	$4$	$3$	$2$

Đúng hai nghiệm khi $m=0$ hoặc $m>4$ . (Bẫy: đừng quên $m=0$ .)

Tham số và đồ thị chứa trị tuyệt đối

01Ví dụ minh hoạ