Các hệ thức lượng giác cơ bản

Cho $\cos\alpha = -\dfrac{8}{17}$. Tính $\sin\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$.

Giải. $\cos\alpha < 0$ nên $\alpha$ tù. Ta có $\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{64}{289} = \dfrac{225}{289}$ và $\sin\alpha > 0$, nên $\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$. Suy ra

Cho $\tan\alpha = -\dfrac{12}{5}$. Tính $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$.

Giải. $\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1 + \dfrac{144}{25}} = \dfrac{25}{169}$. Vì $\tan\alpha < 0$ nên $\alpha$ tù, $\cos\alpha < 0$: $\cos\alpha = -\dfrac{5}{13}$. Khi đó $\sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha = \left(-\dfrac{12}{5}\right)\left(-\dfrac{5}{13}\right) = \dfrac{12}{13}$.

Kiểm lại: $\left(\dfrac{12}{13}\right)^2 + \left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{144 + 25}{169} = 1$.

Cho $\tan\alpha = 4$. Tính $P = \dfrac{3\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}, \qquad Q = \dfrac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha}, \qquad R = \sin\alpha\cos\alpha.$

Giải. $\tan\alpha$ xác định nên $\cos\alpha \ne 0$.

• $P$: tử và mẫu cùng bậc 1, chia cho $\cos\alpha$: $P = \dfrac{3\tan\alpha - 1}{\tan\alpha + 2} = \dfrac{11}{6}$.
• $Q$: cùng bậc 2, chia cho $\cos^2\alpha$: $Q = \dfrac{2\tan^2\alpha - \tan\alpha}{\tan^2\alpha + 3} = \dfrac{32 - 4}{16 + 3} = \dfrac{28}{19}$.
• $R$: viết $R = \dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$, chia cho $\cos^2\alpha$: $R = \dfrac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} = \dfrac{4}{17}$.

Cho $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ và $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac75$. Tính $\sin\alpha\cos\alpha$, $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$, rồi tìm $\sin\alpha$, $\cos\alpha$.

Giải. Bình phương: $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{49}{25}$, nên $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{12}{25}$.

Đặt $S = \dfrac75$, $P = \dfrac{12}{25}$: $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = S^3 - 3PS = \dfrac{343}{125} - \dfrac{252}{125} = \dfrac{91}{125}$.

$\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ là nghiệm của $t^2 - \dfrac75 t + \dfrac{12}{25} = 0$, tức $25t^2 - 35t + 12 = 0$, có hai nghiệm $\dfrac35$ và $\dfrac45$. Vì $P > 0$ và $\sin\alpha > 0$ nên cả hai cùng dương ($\alpha$ nhọn), nhưng đề chưa đủ để biết số nào là sin: có hai góc thoả mãn, một góc có $\sin\alpha = \dfrac35, \cos\alpha = \dfrac45$, góc kia có $\sin\alpha = \dfrac45, \cos\alpha = \dfrac35$ (hai góc phụ nhau).

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc $x$ (với điều kiện xác định): $F = \sin^4 x - \cos^4 x + 2\cos^2 x, \qquad K = \sin(180^\circ - x)\cot x + \cos(180^\circ - x)\ \ (0^\circ < x < 180^\circ).$

Giải.

• $F = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\cos^2 x = \sin^2 x - \cos^2 x + 2\cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
• $K = \sin x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} - \cos x = \cos x - \cos x = 0$.

Cả hai đều là hằng số nên không phụ thuộc $x$.

Chứng minh với $0^\circ < \alpha < 180^\circ$: $\dfrac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} + \dfrac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{2}{\sin\alpha}.$

Giải. Với $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ thì $\sin\alpha > 0$ và $1 + \cos\alpha > 0$, hai vế xác định. Quy đồng vế trái: