Định lí sin

Tam giác $ABC$ có $a = 9$ và $A = 60^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Giải. $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{9}{2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{9}{\sqrt3} = 3\sqrt3$.

Tam giác $ABC$ có $A = 45^\circ$, $B = 60^\circ$, $a = 4\sqrt2$. Tính $C$, $b$, $c$ và $R$.

Giải. $C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$.

Với $c$, dùng $c = 2R\sin C = 8\sin 75^\circ \approx 7{,}73$ (bấm máy).

Tam giác $ABC$ có $A = 120^\circ$, $a = 6$, $b = 2\sqrt3$. Tính $B$, $C$ và $c$.

Giải. $\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{2\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}}{6} = \dfrac12$. Vì $A$ tù nên $B$ phải nhọn (một tam giác không có hai góc tù), do đó $B = 30^\circ$. Suy ra $C = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ$, tam giác cân tại $A$ và $c = b = 2\sqrt3$.

Tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 15$, $A = 60^\circ$. Tính $R$.

Giải. Chưa biết cạnh đối diện $A$, nên tính $a$ trước bằng định lí côsin: $a^2 = 49 + 225 - 105 = 169$, $a = 13$ (xem bài 3). Khi đó

$$R = \frac{13}{2\sin 60^\circ} = \frac{13}{\sqrt3} = \frac{13\sqrt3}{3} \approx 7{,}51.$$

Một vòng xuyến hình tròn có ba cột đèn $A$, $B$, $C$ đặt trên mép. Người ta đo được $BC = 24$ m và góc $\widehat{BAC} = 150^\circ$. Tính bán kính vòng xuyến.

Giải. Đường tròn mép vòng xuyến chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$:

$$R = \frac{BC}{2\sin 150^\circ} = \frac{24}{2\cdot\frac12} = 24 \text{ (m)}.$$