Diện tích tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

a) Tam giác $ABC$ có $b = 9$, $c = 8$, $A = 30^\circ$. Tính diện tích.

b) Tam giác $ABC$ có $b = 4$, $c = 6\sqrt2$, $A = 135^\circ$. Tính diện tích.

Giải. a) $S = \dfrac12\cdot 9\cdot 8\cdot\sin 30^\circ = 36\cdot\dfrac12 = 18$.

b) $\sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (dương, dù góc tù), nên $S = \dfrac12\cdot 4\cdot 6\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 12$.

Trở lại mảnh đất ở phần Khởi động: tam giác có ba cạnh $a = 9$, $b = 10$, $c = 17$ (đơn vị mét). Tính diện tích, hai đường cao $h_a$ và $h_c$, bán kính $R$ và $r$.

Giải. Nửa chu vi $p = \dfrac{9 + 10 + 17}{2} = 18$. Theo Hê-rông:

Khi đó

Tam giác $ABC$ có diện tích $60$. Lấy $D$ trên cạnh $AB$ với $AD = \dfrac23 AB$ và $E$ trên cạnh $AC$ với $AE = \dfrac14 AC$. Tính diện tích tam giác $ADE$.

Giải. Hai tam giác chung góc $A$:

a) Một tam giác có hai cạnh dài $6$ và $10$. Diện tích lớn nhất có thể là bao nhiêu?

b) Trong các tam giác có chu vi $18$, tam giác nào có diện tích lớn nhất?

Giải. a) $S = \dfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\sin\alpha = 30\sin\alpha \le 30$, với $\alpha$ là góc xen giữa. Dấu bằng khi $\alpha = 90^\circ$. Giá trị lớn nhất là $30$.

b) $p = 9$. Theo mục 5, $S \le \dfrac{81}{3\sqrt3} = 9\sqrt3$, đạt được khi tam giác đều cạnh $6$ (diện tích tam giác đều cạnh $6$ là $\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot 36 = 9\sqrt3$).

Tam giác cân có ba cạnh $5$, $5$, $6$. Tính khoảng cách $OI$ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp.

Giải. $p = 8$, $S = \sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2} = 12$. Suy ra $R = \dfrac{5\cdot 5\cdot 6}{4\cdot 12} = \dfrac{25}{8}$, $r = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$. Theo hệ thức Ơ-le:

Kiểm tra trực tiếp: đặt đáy trên trục hoành, đỉnh tại $(0; 4)$. Tâm nội tiếp ở độ cao $r = 1{,}5$; tâm ngoại tiếp cách đỉnh $R = 3{,}125$ nên ở độ cao $0{,}875$. Hai tâm cùng nằm trên trục đối xứng, cách nhau $1{,}5 - 0{,}875 = 0{,}625 = \dfrac58$.