Tập hợp và cách xác định tập hợp

Liệt kê các phần tử của: a) $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$; b) $C = \{x \in \mathbb{N} \mid x^2 - 5x + 6 = 0\}$; c) $D = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 + 1 = 0\}$.

Giải. a) $A = \{0; 1; 2; 3; 4\}$, $n(A) = 5$ ($\mathbb{N}$ có số $0$). b) $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$ nên $x = 2$ hoặc $x = 3$, cả hai thuộc $\mathbb{N}$: $C = \{2; 3\}$. c) $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ với mọi số thực $x$ nên phương trình vô nghiệm: $D = \varnothing$.

Liệt kê các phần tử của $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < 2x + 1 \le 7\}$.

Giải. Biến đổi: $-3 < 2x + 1 \le 7 \iff -4 < 2x \le 6 \iff -2 < x \le 3$.

Các số nguyên thoả $-2 < x \le 3$ là $-1; 0; 1; 2; 3$. Vậy $B = \{-1; 0; 1; 2; 3\}$, $n(B) = 5$. (Chú ý: $-2$ bị loại vì dấu $<$; $3$ được giữ vì dấu $\le$.)

Liệt kê các phần tử của $G = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2x^2 - x - 1 = 0\}$ và $H = \{x \in \mathbb{Q} \mid 2x^2 - x - 1 = 0\}$.

Giải. $2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1) = 0$ nên $x = 1$ hoặc $x = -\dfrac12$.

• Trên $\mathbb{Z}$: $-\dfrac12$ không là số nguyên nên $G = \{1\}$.
• Trên $\mathbb{Q}$: cả hai đều hữu tỉ nên $H = \left\{1; -\dfrac12\right\}$.

Cùng một phương trình, đổi tập nền thì đổi tập hợp.

Viết mỗi tập sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng: a) $\{1; 4; 9; 16\}$; b) $\{2; 4; 6; 8; 10\}$; c) tập các số thực lớn hơn $2$ và không vượt quá $7$.

Giải. a) Các phần tử là bình phương của $1; 2; 3; 4$: $\{n^2 \mid n \in \mathbb{N}^*,\ n \le 4\}$. b) Các số chẵn dương không vượt quá $10$: $\{x \in \mathbb{N}^* \mid x \text{ chẵn},\ x \le 10\}$; hoặc $\{2k \mid k \in \mathbb{N}^*,\ k \le 5\}$. c) $\{x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \le 7\}$. Tập này có vô hạn phần tử nên không thể liệt kê.

Cho $E = \{x \in \mathbb{Z} \mid (x - 1)(x^2 - 4) = 0\}$ và $F = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 \le x \le 3\}$. Liệt kê và tính $n(E)$, $n(F)$.

Giải. $(x-1)(x-2)(x+2) = 0$ cho $x \in \{1; 2; -2\}$, đều nguyên: $E = \{-2; 1; 2\}$, $n(E) = 3$.

$F = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}$, $n(F) = 7$.

Điền $\in$ hoặc $\notin$: a) $0 \ \cdots\ \mathbb{N}^*$; b) $-2 \ \cdots\ \mathbb{N}$; c) $\dfrac12 \ \cdots\ \mathbb{Z}$; d) $0{,}25 \ \cdots\ \mathbb{Q}$; e) $\sqrt 2 \ \cdots\ \mathbb{Q}$; f) $\pi \ \cdots\ \mathbb{R}$.

Giải. a) $\notin$ (vì $\mathbb{N}^*$ bỏ số $0$); b) $\notin$; c) $\notin$; d) $\in$ (vì $0{,}25 = \dfrac14$); e) $\notin$ ($\sqrt 2$ vô tỉ); f) $\in$.