Bài toán đếm bằng biểu đồ Ven

Lớp có $40$ học sinh, $25$ em thích bóng đá, $20$ em thích bóng rổ, $8$ em không thích môn nào trong hai môn. Hỏi bao nhiêu em thích cả hai môn? Bao nhiêu em chỉ thích bóng đá, chỉ thích bóng rổ?

Giải. Gọi $A$, $B$ là tập các em thích bóng đá, bóng rổ; $x = n(A \cap B)$. Số em thích ít nhất một môn: $n(A \cup B) = 40 - 8 = 32$. Theo công thức: $32 = 25 + 20 - x$, suy ra $x = 13$. Chỉ bóng đá: $25 - 13 = 12$. Chỉ bóng rổ: $20 - 13 = 7$. Kiểm tra: $12 + 13 + 7 + 8 = 40$.

Trong $45$ học sinh, có $28$ em giỏi Toán, $22$ em giỏi Văn, $10$ em giỏi cả hai môn. Tính số em: a) giỏi ít nhất một môn; b) không giỏi môn nào; c) chỉ giỏi đúng một môn.

Giải. a) $n(A \cup B) = 28 + 22 - 10 = 40$. b) Không giỏi môn nào: $45 - 40 = 5$. c) Chỉ Toán: $28 - 10 = 18$; chỉ Văn: $22 - 10 = 12$. Đúng một môn: $18 + 12 = 30$.

Câu lạc bộ có $36$ thành viên, ai cũng tham gia ít nhất một trong hai bộ môn Cờ vua và Bóng bàn. Có $24$ người chơi Cờ vua, $20$ người chơi Bóng bàn. Bao nhiêu người chơi cả hai?

Giải. $n(A \cup B) = 36$. Từ $36 = 24 + 20 - x$ có $x = 8$ người chơi cả hai.

Trong $50$ học sinh khảo sát: $26$ em thích Toán ($T$), $24$ em thích Lý ($L$), $18$ em thích Hoá ($H$); $10$ em thích cả Toán và Lý, $8$ em thích cả Lý và Hoá, $9$ em thích cả Toán và Hoá; $5$ em thích cả ba môn. Hỏi: a) bao nhiêu em thích ít nhất một môn; b) bao nhiêu em không thích môn nào; c) bao nhiêu em thích đúng một môn; d) bao nhiêu em thích đúng hai môn?

Giải. a) $n(T \cup L \cup H) = 26 + 24 + 18 - 10 - 8 - 9 + 5 = 46$. b) Không thích môn nào: $50 - 46 = 4$. Các vùng (từ trong ra ngoài): giao ba $5$; chỉ Toán-Lý $10 - 5 = 5$; chỉ Lý-Hoá $8 - 5 = 3$; chỉ Toán-Hoá $9 - 5 = 4$; chỉ Toán $26 - 5 - 4 - 5 = 12$; chỉ Lý $24 - 5 - 3 - 5 = 11$; chỉ Hoá $18 - 3 - 4 - 5 = 6$. Kiểm tra: $12 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 5 = 46$, cộng $4$ em ngoài được $50$. c) Đúng một môn: $12 + 11 + 6 = 29$. d) Đúng hai môn: $5 + 3 + 4 = 12$.

Một lớp $45$ học sinh, mỗi em thích ít nhất một trong ba môn Toán, Lý, Hoá. Có $25$ em thích Toán, $20$ em thích Lý, $18$ em thích Hoá; $9$ em thích cả Toán và Lý, $7$ em thích cả Lý và Hoá, $8$ em thích cả Toán và Hoá. Có bao nhiêu em thích cả ba môn?

Giải. Gọi $x = n(T \cap L \cap H)$. Vì ai cũng thích ít nhất một môn nên $n(T \cup L \cup H) = 45$: $45 = 25 + 20 + 18 - 9 - 7 - 8 + x = 39 + x,$ suy ra $x = 6$. Kiểm tra các vùng: chỉ Toán-Lý $9 - 6 = 3$, chỉ Lý-Hoá $7 - 6 = 1$, chỉ Toán-Hoá $8 - 6 = 2$; chỉ Toán $25 - 3 - 2 - 6 = 14$; chỉ Lý $20 - 3 - 1 - 6 = 10$; chỉ Hoá $18 - 1 - 2 - 6 = 9$. Tổng $14 + 10 + 9 + 3 + 1 + 2 + 6 = 45$, đúng.