Ví dụ · Phương trình chứa trị tuyệt đối · Toán 10

Ví dụ 1 ( $\lvert A \rvert = \lvert B \rvert$ )

Giải $\lvert 3x - 2 \rvert = \lvert x + 6 \rvert$ .

Giải. Hoặc $3x - 2 = x + 6$ , cho $x = 4$ ; hoặc $3x - 2 = -(x + 6)$ , tức $4x = -4$ , $x = -1$ . Thử: $x = 4$ : $\lvert 10 \rvert = \lvert 10 \rvert$ . $x = -1$ : $\lvert -5 \rvert = \lvert 5 \rvert$ . Vậy $S = \{-1; 4\}$ .

Ví dụ 2 (vế phải là hằng, $A$ bậc hai)

Giải $\lvert x^2 - 3x - 1 \rvert = 3$ .

Giải. Hoặc $x^2 - 3x - 1 = 3$ , tức $x^2 - 3x - 4 = 0$ , nghiệm $x = 4$ hoặc $x = -1$ ; hoặc $x^2 - 3x - 1 = -3$ , tức $x^2 - 3x + 2 = 0$ , nghiệm $x = 1$ hoặc $x = 2$ . Vậy $S = \{-1; 1; 2; 4\}$ (bốn nghiệm). Thử $x = 1$ : $\lvert 1 - 3 - 1 \rvert = 3$ .

Ví dụ 3 ( $\lvert A \rvert = B$ , loại một nghiệm)

Giải $\lvert x - 3 \rvert = 2x - 9$ .

Giải. Điều kiện $2x - 9 \ge 0$ , tức $x \ge 4{,}5$ . Xét $x - 3 = 2x - 9$ : $x = 6$ , thoả $x \ge 4{,}5$ . Xét $x - 3 = -(2x - 9)$ , tức $3x = 12$ , $x = 4$ : $4 < 4{,}5$ loại (khi đó vế phải $2 \cdot 4 - 9 = -1 < 0$ ). Thử $x = 6$ : $\lvert 3 \rvert = 3$ . Vậy $S = \{6\}$ .

Ví dụ 4 ( $\lvert A \rvert = B$ với $A$ bậc hai)

Giải $\lvert x^2 - x - 2 \rvert = x + 1$ .

Giải. Điều kiện $x + 1 \ge 0$ , tức $x \ge -1$ .

$x^2 - x - 2 = x + 1 \iff x^2 - 2x - 3 = 0$ , nghiệm $x = 3$ hoặc $x = -1$ ; cả hai thoả $x \ge -1$ .
$x^2 - x - 2 = -(x + 1) \iff x^2 - 1 = 0$ , nghiệm $x = 1$ hoặc $x = -1$ ; cả hai thoả.

Hợp: $x \in \{-1; 1; 3\}$ ( $x = -1$ trùng ở hai trường hợp). Thử $x = 1$ : $\lvert 1 - 1 - 2 \rvert = 2 = 1 + 1$ ; $x = 3$ : $\lvert 9 - 3 - 2 \rvert = 4$ ; $x = -1$ : $0 = 0$ . Vậy $S = \{-1; 1; 3\}$ , khớp với ba giao điểm trong hình.

Bước 1 / 5

Vẽ

y = x^{2} - x - 2

(đứt), phần dưới trục lật lên được

y = ∣ x^{2} - x - 2 ∣

(liền) và đường

y = x + 1

.

Ví dụ 5 (hai trị tuyệt đối, chia khoảng)

Giải $\lvert x - 1 \rvert + \lvert x + 2 \rvert = 5$ .

Giải. Các điểm tới hạn $x = 1$ và $x = -2$ chia trục số thành ba khoảng.

Khoảng	$\lvert x - 1 \rvert$	$\lvert x + 2 \rvert$	Phương trình	Kết quả
$x < -2$	$1 - x$	$-x - 2$	$-2x - 1 = 5$	$x = -3$ , thuộc khoảng, nhận
$-2 \le x < 1$	$1 - x$	$x + 2$	$3 = 5$	vô nghiệm
$x \ge 1$	$x - 1$	$x + 2$	$2x + 1 = 5$	$x = 2$ , thuộc khoảng, nhận

Vậy $S = \{-3; 2\}$ . Đúng như nhận xét hình học: khoảng cách giữa $-2$ và $1$ là $3$ , tổng cần $5$ nên mỗi nghiệm lệch ra ngoài đầu mút $\dfrac{5 - 3}{2} = 1$ đơn vị: $-2 - 1 = -3$ và $1 + 1 = 2$ .

Ví dụ 6 (ẩn phụ $t = \lvert x \rvert$ )

Giải $x^2 - 3\lvert x \rvert - 4 = 0$ .

Giải. Đặt $t = \lvert x \rvert \ge 0$ , khi đó $x^2 = t^2$ và phương trình thành $t^2 - 3t - 4 = 0$ , nghiệm $t = 4$ hoặc $t = -1$ . Loại $t = -1$ vì $t \ge 0$ . Với $t = 4$ : $\lvert x \rvert = 4$ , $x = \pm 4$ . Vậy $S = \{-4; 4\}$ .

Phương trình chứa trị tuyệt đối

01Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (∣A∣=∣B∣\lvert A \rvert = \lvert B \rvert∣A∣=∣B∣)

Ví dụ 2 (vế phải là hằng, AAA bậc hai)

Ví dụ 3 (∣A∣=B\lvert A \rvert = B∣A∣=B, loại một nghiệm)

Ví dụ 4 (∣A∣=B\lvert A \rvert = B∣A∣=B với AAA bậc hai)