Tham số m để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x

Tìm $m$ để $x^2 - 2mx + 3m - 2 > 0$ với mọi $x$.

Giải. $a = 1 > 0$ luôn thoả. Điều kiện $\Delta' < 0$: $\Delta' = m^2 - (3m - 2) = m^2 - 3m + 2 < 0$, nghiệm của $m^2 - 3m + 2$ là $1$ và $2$, nên $1 < m < 2$. Vậy $m \in (1; 2)$. Kiểm: $m = 1{,}5$ cho $(x - 1{,}5)^2 + 0{,}25 > 0$ ✓; $m = 0$ cho $x^2 - 2$ có giá trị âm ✓ (loại).

Tìm $m$ để $(m - 2)x^2 + 2(m - 2)x + 4 > 0$ với mọi $x$.

Giải.

Trường hợp $m = 2$ ($a = 0$): bất phương trình thành $4 > 0$, đúng với mọi $x$. Nhận $m = 2$.

Trường hợp $m \ne 2$: cần $a = m - 2 > 0$ và $\Delta' = (m - 2)^2 - 4(m - 2) = (m - 2)(m - 6) < 0$. Từ $m > 2$ và $2 < m < 6$ ta có $2 < m < 6$.

Hợp hai trường hợp: $m \in [2; 6)$. Kiểm: $m = 6$ cho $4x^2 + 8x + 4 = 4(x+1)^2$ bằng $0$ tại $x = -1$, không $> 0$ với mọi $x$ ✓ (loại $6$).

Tìm $m$ để $mx^2 - 2mx - 3 \le 0$ với mọi $x$.

Giải.

Trường hợp $m = 0$: bất phương trình thành $-3 \le 0$, đúng. Nhận.

Trường hợp $m \ne 0$: cần $m < 0$ và $\Delta' = m^2 + 3m \le 0$. Nghiệm của $m^2 + 3m$ là $0$ và $-3$ nên $\Delta' \le 0 \iff -3 \le m \le 0$. Kết hợp $m < 0$: $-3 \le m < 0$.

Hợp: $m \in [-3; 0]$. Kiểm: $m = -3$ cho $-3x^2 + 6x - 3 = -3(x - 1)^2 \le 0$ ✓.

Tìm $m$ để bất phương trình $x^2 + 2mx + m + 2 < 0$ vô nghiệm.

Giải. Vô nghiệm nghĩa là không có $x$ nào làm $f(x) < 0$, tức $f(x) \ge 0$ với mọi $x$. Vì $a = 1 > 0$, cần $\Delta' \le 0$: $\Delta' = m^2 - (m + 2) = m^2 - m - 2 \le 0$, nghiệm $-1$ và $2$, nên $-1 \le m \le 2$. Kiểm: $m = -1$ cho $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \ge 0$ ✓.

Tìm $m$ để bất phương trình $(m - 1)x^2 - 2(m - 1)x + 3 < 0$ có nghiệm.

Giải. Phủ định của "có nghiệm" là "vô nghiệm", tức $(m - 1)x^2 - 2(m - 1)x + 3 \ge 0$ với mọi $x$. Giải điều kiện này:

• $m = 1$: biểu thức bằng $3 \ge 0$, đúng với mọi $x$. Nhận.
• $m \ne 1$: cần $m - 1 > 0$ và $\Delta' = (m - 1)^2 - 3(m - 1) = (m - 1)(m - 4) \le 0$, tức $1 < m \le 4$.

Vậy "vô nghiệm" xảy ra khi $m \in [1; 4]$. Do đó "có nghiệm" khi $m < 1$ hoặc $m > 4$. Kiểm: $m = 0$ cho $-x^2 + 2x + 3 < 0$ có nghiệm (chẳng hạn $x = 4$: $-16 + 8 + 3 = -5 < 0$) ✓; $m = 2$ cho $x^2 - 2x + 3 > 0$ luôn đúng nên $< 0$ vô nghiệm ✓.